Matematické Fórum

Lenka95 · 09. 04. 2015 19:02

Napište rovnici kvadratické funkce f, jejíž graf protíná osy souřadnic v bodech $[0;-5],[-1,0],[5;0]$ a určete souřadnice vrcholu grafu.
Vezmu si tudíž předpis rovnice: $y = ax^{2}+bx+c$ a měla bych jen dosadit a dostat soustavu 3 rovnic o 3 neznámých.
Vyjde mi tedy:
$-5=0+0+c$
$0=a-b+c$
$0=25a+5b+c$
_____________
$0=a-b-5 / * 5$
$0=25a+5b-5$
_____________
$0=5a-25$
$0=25a-5$
____________
$0=30a-30$
$a=1$

$0=1-b-5$
$b=-4$

Dosadím do předpisu rovnice, takže vyjde $f: y = x^{2}-4x-5$ ?
A souřadnice vrcholu zjistím jak?

gadgetka

Doplněním na čtverec:
$y=x^2-4x-5=(x-2)^2-4-5=(x-2)^2-9\Rightarrow V[2; -9]$

Jorica · 09. 04. 2015 19:25

↑ Lenka95:
Někdy je řešení soustavy 3 rovnic o 3 neznámých zbytečně složité. Pokud znáš souřadnice průsečíků paraboly s osou x, je výhodnější použít jiný výchozí tvar kvadratické funkce, a to:
$y=a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})$ , kde $x_{1}$ a $x_{2}$ jsou právě x-ové souřadnice průsečíků, tj. -1 a 5. Hodnotu koeficientu a pak vypočítáš dosazením třetího známého průsečíku, kdy do rovnice $y=a\cdot (x+1)\cdot (x-5)$ dosadíš $x=0$ a $y=-5$ . Pak vyjde $a = 1$ .

Vrchol paraboly můžeš určit i tak, že si uvědomíš, že jeho x-ová souřadnice je přesně uprostřed mezi x-ovým průsečíky paraboly, v tomto případě je x-ová souřadnice vrcholu $x = 2$ . Druhou souřadnici zjistíš tak, že stanovíš funkční hodnoty kvadratické funkce, jejíž předpis máš, pro $x = 2$ , tj. $f(2)=2^{2}-4\cdot 2-5=4-8-5=-9$ .
$V[2; -9]$ .

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2015 19:02

Rovnice kvadratické funkce z bodů

#2 09. 04. 2015 19:06 — Editoval gadgetka (09. 04. 2015 19:06)

Re: Rovnice kvadratické funkce z bodů

#3 09. 04. 2015 19:25

Re: Rovnice kvadratické funkce z bodů

Zápatí