Matematické Fórum

Levissima · 06. 04. 2015 15:23

Zdravím všechny,
potřebovala bych poradit s těmito příklady, vůbec nevím, co s tím. Předem děkuji za jakoukoli radu.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/26606_11088526_1824650174425877_901804969_n.jpg

Rumburak

↑ Levissima:

Zdravím.

U první úlohy je potřeba ověřit, že vzorec mající definovat součin tříd $T(p,q), T(r,s)$ není závislý
na volbě representantů $(p,q), (r,s)$ těchto tříd.

Obdobně u druhé úlohy.

U třetí úlohy bychom museli mít podrobnější informace o té konstrukci.

Levissima · 07. 04. 2015 18:34

↑ Rumburak:

A jak to ověření provedu? Konstrukce z třetí úlohy je popsána na obrázku.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/24404_11129947_1825295121028049_477887723_n.jpg

Rumburak

↑ Levissima:

Nejprve se podívejme na vybudování teorie celých čísel. Je potřeba vyjít ze znalosti množiny $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ... \}$
přirozených čísel opatřené operací $+$ a z té konstrukce.

Ad (A.a) :

V množině všech uspořádaných dvojic $[a, b] \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ definujeme relaci $R$ předpisem

$[a, b] R [c, d] \Leftrightarrow a + d = b + c$ .

Ad (A.b) :

Není těžké dokázat, že výše definovaná relace $R$ je ekvivalence v $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ .

Ad (A.c) :

Ekvivalencí $R$ je určen rozklad $\mathbb{Z} := (\mathbb{N} \times \mathbb{N}) / R$ množiny $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ podle ekvivalence $R$ .
Je-li $[a, b] \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ , pak můžeme označit

(1) $D(a,b) := \{ [x, y] \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} ; [x, y] R [a, b] \}$ ,

tj. rozkladovou třídu obsahující usp. dvojici $[a, b]$ , kterou nazveme jejím representantem . Prvky množiny $\mathbb{Z}$
(tedy ony rozkladové třídy zavedené definicí (1)) nazveme celými čísly .
(Poznámka: množina $D(a,b)$ je jakýmsi "předobrazem" celého čísla $a - b$ .)

Ad (B.a) :

V množině $\mathbb{Z}$ se zavede sčítání $D(a, b) + D(c, d) := D(a + c, b + d)$ (pro jednoduchost používám
pro součet v $\mathbb{Z}$ stejné operační znaménko jako pro součet v $\mathbb{N}$ ) a dokážeme větu (B.b).

Ad (B.c ), (B. d) :
Snadno lze nahlédnout, že pro $m, n \in \mathbb{N}$ je $D(m, 0) + D(n, 0) = D(m + n, 0)$ . To znamená, že
přirozené číslo $n$ můžeme ztotožnit s celým číslem $D(n, 0)$ .

Kontrolní otázka: Jakým předpisem by bylo vhodné definovat součin $D(a, b) \cdot D(c, d)$ celých čísel, aby měl
vlastnosti nám známé ?

Konstrukce racionálních čísel z celých se provádí analogicky. Pracuje se s usp. dvojicemi $(a, b)$ celých čísel a
s operací součinu - vylučují se ovšem dvojice tvaru $(a, 0)$ .

Levissima · 08. 04. 2015 21:41

↑ Rumburak:

Tahle konstrukce je mi docela jasná, ale nevím, jak ji mám v té třetí úloze použít na (Z;+) a jak jak mi má vzniknout izomorfní struktura.

A u těch prvních dvou, jak ukážu, že nezáleží na volbě reprezentantů?

Potřebovala bych to fakt polopatě vysvětlit, v tomhle jsem naprosto naprosto mimo :-(

Rumburak

↑ Levissima:

V (Z;+) zevedeme relaci $[a, b] R [c, d] \Leftrightarrow a + d = b + c$ , ukážeme, že jde o ekvivalenci a položíme

$H(a,b) := \{ [x, y] \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} ; [x, y] R [a, b] \}$ .

Jde o to, že nyní už obecně můžeme napsat

(1) $H(a, b) = H(a-b, 0)$ ,

protože v aditivní grupě celých čísel není s definičním oborem rozdílu $a-b$ problém - narozdíl od předchozí situace
při konstrukci grupy (Z;+), kdy analogickou rovnost $D(a, b) = D(a-b, 0)$ bylo možno napsat pouze v případě
$a \ge b$ , když rozdíl $a-b$ byl definován ještě v množině v přirozených čísel. Množinová rovnost (1) je zdůvodněním
existence isomorfismu, který třídě $H(a, b)$ přiřadí celé číslo $a-b$ .

K ostatním problémům se snad postupně také dostaneme .

Levissima · 09. 04. 2015 20:28

↑ Rumburak:

Super, děkuji moc. Teď už chápu podstatu, na papír už to snad s tímhle nějak do kupy dám. A ty další?

Rumburak

↑ Levissima:

K první úloze.

Asi by bylo vhodné shrnout předchozí logické kroky:

1) je nějak zavedena množina $\mathbb{N}$ přirozených čísel - často se využívá Peanovy axiomatiky;

2) s přirozenými čísly jsou zavedeny operace součtu a součinu, pro které platí běžné aritmetické zákony ;

3) pologrupa $(\mathbb{N}, +)$ je pomocí konstrukce již probrané rozšířena na komutativní grupu $(\mathbb{Z}, +)$
celých čísel;

4) operace součinu je rozšířena i na všechna celá čísla předpisem

$D(a, b) \cdot D(c, d) := D(ac+bd, bc + ad)$ ;

5) Obdobnou konstrukcí jako v 3 lze pologrupu $(\mathbb{Z} - \{0\}, \cdot)$ rozšířit na grupu. Nejprve se v $\mathbb{Z} - \{0\}$
zavede relace

(1) $[p, q] S [r, s] \Leftrightarrow ps = qr$ ,

ukáže se, že jde o ekvivalenci, a rozklad $\mathbb{Q}_0 := (\mathbb{Z} - \{0\}) / S$ se nazve množinou nenulových
racionálních čísel . Každé nenulové rac. číslo je tedy rozkladovou třídou

$T(p, q) := \{[x, y] \in (\mathbb{Z} - \{0\}) \times (\mathbb{Z} - \{0\}) ; [x, y] S [p, q] \}$

s nenulovými celými čísly $p, q$ .

A konečně :

Máme-li ověřit, že definice $T(p,q) \cdot T(r,s) := T(pr, qs)$ je korektní , musíme dokázat implikaci

$([p,q] S [p',q'] \wedge [r,s] S [r',s']) \Rightarrow [pr , qs] S [p'r' , q's']$

(slovy: operace s třídami definovaná pomocí jejich representantů není závislá na bližší volbě tšchto representantů).

Podle té definice relace $S$ v (1) bys to, myslím , už mohla dát dohromady.

vanok · 10. 04. 2015 19:28 — Editoval vanok (10. 04. 2015 19:29)

Poznamka,
Tu http://en.m.wikipedia.org/wiki/Integer je jedno uzitocne citanie .

Levissima · 11. 04. 2015 09:44

Děkuji moc, snad už to nějak dohromady dám. A u té dvojky to bude podobné jako u prvního příkladu?

Rumburak · 11. 04. 2015 17:58

Ještě dvě poznámky.

1. Ta myšlenka pomocí rozkladových tříd sestrojit z celých čísel čísla racionální může mít více variant.
V konstrukci, kterou jsem naznačil, jsem v usp. dvojicích $(p, q)$ předpokládal nejen nenulovost čísla $q$ jakožto
předobrazu jmenovatele zlomku, ale i nenulovost čísla $p$ , jsa veden vidinou obdržet nejprve množinu $Q_0$
(nenulových rac. čísel), která by vůči operaci násobení byla grupou, s tím, že doplněním nového prvku
(označeného $0$ ) k množině $Q_0$ a rošířením operací součtu a součinu o

$T(p, q) + 0 = 0 + T(p, q) = T(p, q) , T(p, q) \cdot 0 = 0 \cdot T(p, q) = 0$

bychom už dostali všechna rac. čísla (což, jak víme, vůči operaci součinu grupa není).

Druhou možností by bylo omezení $p \ne 0$ nezavádět a získat všechna rac. čísla ihned.

2. Pro naši relaci $S$ definovanou $[p, q] S [r, s] \Leftrightarrow ps = qr$ platí : je-li $c$ nenulové celé číslo, potom
$[p, q] S [cp, cq]$ . Odtud plyne, že celá čísla $p, q$ definující třídu $T(p,q)$ můžeme vždy volit tak, že $q >0$ .
Tuto podmínku je možno uplatnit od samého začátku a pracovat pouze s dvojicemi $(p, q)$ , kde $q > 0$ .
Je možné, že na přednášce jste to takto zavedli. Pak fomulí z úlohy 2 skutečně je definováno "klasické"
uspořádání rac. čísel (opět nutno ověřit, že definice není závislá na volbě representantů).
Zkus se sama zamyslet (pomocí nějakého příkladu), jak by to bylo bez podmínky "kladných jmenovatalů".

Levissima · 12. 04. 2015 17:45

↑ Rumburak:

Děkuji hrozně moc. Pokouším se to dát nějak dohromady. Jsem na dálkovém rozšiřujícím studiu a žádnou přednášku jsme k tomu bohužel neměli, jen zadání příkladů na zápočet a "tvoř si". Takže vůbec nevím, jak si to pan docent představuje. Ještě jednou díky.

Rumburak · 13. 04. 2015 09:01

↑ Levissima:
Možná jsou k té látce nějaká skripta - snad pan docent dá nějaké doporučení.
Na druhou stranu to "vlastní tvoření" není špatná škola, jen poněkud zdlouhavá.

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2015 15:23

3x důkazy z algebry

#2 07. 04. 2015 11:39 — Editoval Rumburak (07. 04. 2015 11:40)

Re: 3x důkazy z algebry

#3 07. 04. 2015 18:34

Re: 3x důkazy z algebry

#4 08. 04. 2015 15:21 — Editoval Rumburak (08. 04. 2015 15:44)

Re: 3x důkazy z algebry

#5 08. 04. 2015 21:41

Re: 3x důkazy z algebry

#6 09. 04. 2015 15:28 — Editoval Rumburak (09. 04. 2015 19:07)

Re: 3x důkazy z algebry

#7 09. 04. 2015 20:28

Re: 3x důkazy z algebry

#8 10. 04. 2015 12:35 — Editoval Rumburak (10. 04. 2015 14:07)

Re: 3x důkazy z algebry

#9 10. 04. 2015 19:28 — Editoval vanok (10. 04. 2015 19:29)

Re: 3x důkazy z algebry

#10 11. 04. 2015 09:44

Re: 3x důkazy z algebry

#11 11. 04. 2015 17:58

Re: 3x důkazy z algebry

#12 12. 04. 2015 17:45

Re: 3x důkazy z algebry

#13 13. 04. 2015 09:01

Re: 3x důkazy z algebry

Zápatí