Matematické Fórum

jeremya · 11. 04. 2015 00:26

Ahoj, pravděpodobně už je dost pozdě a odpověď, kterou hledám nebude moc složitá, ale nemůžu na to přijít.

Mám bod A[3, 3] v souřadnicovém systému X, Y. Jak vypočítat pozici bodu A v souřadnicovém systému X', Y', ve kterém jsou osy otočeny o úhel \alpha proti směru hodinových ručiček.

Pro přesnost přidávám obrázek problému: //forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/04726_aaaa.jpg

//edit: souřadnicový systém X', Y' má stejnou stupnici jako X, Y, jen jsem zapomněl dokreslit čárky.

Díky za odpovědi

Jj · 11. 04. 2015 01:21 — Editoval Jj (11. 04. 2015 11:53)

↑ jeremya:

Dobrý den.

Nové souřadnice:

$x'=x\cos \alpha + y \sin \alpha$
$y'=-x\sin \alpha + y \cos \alpha$

Edit: oprava znamének

jeremya

↑ Jj:

Dobrý den,

to jsou vzorce pro rotaci, ale já nepotřebuji bod přesunout do nových souřadnic, jen zjistit souřadnice bodu vzhledem ku nové soustavě ( bod leží stále stejně ), děkuji

holyduke

Ahoj, ↑ jeremya:
osa $x'$ má směrnici $\text{tg}30°$ a přímka $p$ bude na tuto osu kolmá
Vzhledem k souřadnicové soustavě XY dostáváme:
$x': y-\frac{\sqrt{3}}{3}x=0$
$p: \frac{\sqrt{3}}{3}y+x-\sqrt{3}-3=0$
vyřešíš tuto soustavu a dostaneš x-ový průsečík v systému XY (y-ový tě nezajímá). Teď to potřebujeme přetransformovat do X´Y´.
A to tím, že vyjádříš $x'$ ze vztahu $\cos 30°=\frac{x}{x'}$
Bod $y'$ zjistíš podobně. Není to možná nejlehčí možné řešení, ale snad vede ke správnému výsledku...

jeremya

↑ holyduke:

Moc Vám děkuji za odpověď, myslel jsem, že řešení bude jednodušší..
Stále nechápu některé kroky, chápu rovnicy osy $x': y-\text{tg}30°x=0$ , ale nechápu vzorec kolmice p, ve kterém je $p: \frac{\sqrt{3}}{3}y+x-\sqrt{3}-3=0$ , proč se odečítá $-\sqrt{3}-3$

Chápu pak dobře, že dostávám obecný vzorec, který můžu např. použít následovně v trasnformační matici:

bod $\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} x\\ y \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1/cos(\alpha ) & 0 \\ 0 & ? \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} x'\\ y' \\ \end{array} \right)$

Stále nechápu, jak odvodit y', vztah..

holyduke · 11. 04. 2015 11:03

↑ jeremya:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/42802_04726_aaaa.jpg
Pro ujasnění: chceš najít body $x'$ a $y'$ (podle obrázku)?

jeremya napsal(a):
ale nechápu vzorec kolmice p, ve kterém je $p: \frac{\sqrt{3}}{3}y+x-\sqrt{3}-3=0$ , proč se odečítá $-\sqrt{3}-3$

normálový vektor bude kolmý na normálový vektor osy $x'$ , proto vektor $$\frac{\sqrt{3}}{3};1$$ a dosazením bodu $A[3;3]$ zjistíš, že musíš odečíst $-\sqrt{3}-3$

K té transformační matici: nerad bych se pouštěl do matic, jelikož si nejsem jistý, že to takhle půjde...

jeremya napsal(a):
Stále nechápu, jak odvodit y', vztah..

osa $y'$ bude mít směrnici $\text{tg}120°$ a přímka $q$ je rovnoběžná s osou $x'$ , takže má stejný vektor. Dosazením bodu opět zjistíš příslušnou konstantu. Řešíš soustavu rovnic:

$y'=-\sqrt{3}x$
$q:y-\frac{\sqrt{3}}{3}x-3+\sqrt{3}=0$

Zjistíš si například bod y (jde to i pomocí bodu x, ale na obrázku mám y) a goniometrickými funkcemi dopočítáš vzdálenost bodu $y'$ od počátku.

jeremya · 11. 04. 2015 11:51

↑ holyduke:

Už to chápu, moc Vám děkuji za pomoc při řešení

Jj · 11. 04. 2015 11:57 — Editoval Jj (11. 04. 2015 12:07)

↑ jeremya:

Má-li to být podle obrázku tady ↑ holyduke:, (předpokládám, že tam jako x, y mají být označeny původní souřanice bodu A, tj. 3, 3) pak z něj vyplývá

$x'\cos \alpha - y'\sin \alpha = x$
$x'\sin \alpha + y'\cos \alpha = y$

--> x', y':

$D=\begin{vmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{vmatrix}=1$

$x' = \frac{Dx'}{D}=\frac{\begin{vmatrix} x & -\sin \alpha \\ y & \cos \alpha \end{vmatrix}}{1}=x\cos \alpha + y \sin \alpha$

$y' = \frac{Dy'}{D}=\frac{\begin{vmatrix} \cos \alpha & x \\ \sin \alpha & y \end{vmatrix}}{1}= - x \sin \alpha+y \cos \alpha$

Což jsem už uvedl tady : ↑ Jj: (popletl jsem tam znaménka, už opraveno).

Poznámce o 'přesunu bodu' uvedené ↑ jeremya: nerozumím.

Ovšem - pokud jsem nepochopil, o čem se tady vlastně jedná, tak omluva.

vanok · 11. 04. 2015 13:08 — Editoval vanok (11. 04. 2015 13:35)

pozdravujem ↑ Jj:,↑ jeremya:,
kolega ↑ Jj: dal vseobecnu obpoved na tvoju otazku.
co sa tyka odpovede od↑ holyduke:, jeho odpoved sa tyka len jedneho specialneho pripadu $\alpha =30°$ , co ale ti moze ukazat ako reagovat v inych pripadoch.

Davam tu este mozne riesenie vdaka polarnych suradnic ( ak nevies o co ide pozri si to na webe). No to co je skryte si precitaj len ak chces ist dalej ako v skole

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jeremya · 11. 04. 2015 14:06

↑ Jj:

Dobrý den, děkují Vám za rovnice, které opravdu fungují, když jsem zkoušel první rovnice, které jste uvedl výše, tak spíš fungovali jako rotace, tyhle nové fungují přesně jak jsem potřeboval:)

↑ vanok:
Děkuji za shrnutí a zmínku o polárních souřadnicích, matika mě baví, tak se k tomu třeba někdy dostanu:)

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2015 00:26

Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

#2 11. 04. 2015 01:21 — Editoval Jj (11. 04. 2015 11:53)

Re: Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

#3 11. 04. 2015 07:12 — Editoval jeremya (11. 04. 2015 07:22)

Re: Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

#4 11. 04. 2015 07:55 — Editoval holyduke (11. 04. 2015 07:55)

Re: Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

#5 11. 04. 2015 09:04 — Editoval jeremya (11. 04. 2015 09:05)

Re: Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

#6 11. 04. 2015 11:03

Re: Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

jeremya napsal(a):

jeremya napsal(a):

#7 11. 04. 2015 11:51

Re: Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

#8 11. 04. 2015 11:57 — Editoval Jj (11. 04. 2015 12:07)

Re: Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

#9 11. 04. 2015 13:08 — Editoval vanok (11. 04. 2015 13:35)

Re: Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

#10 11. 04. 2015 14:06

Re: Geometrie - vyjádření bodu báze A v bázi B

Zápatí