Matematické Fórum

bert.blader · 13. 04. 2015 16:25

Dobrý den, za měsíc maturuji školně z matematiky a dostal jsem příklady na přípravu. Počítám rovnice a narazil jsem na tyto dva příklady, se kterými si nevím rady. Budu vděčný za každou radu.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/35080_rovnice_priklady.png

zdenek1

↑ bert.blader:
$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x-3}=\sqrt[3]{12(x-1)}$ umocnit na 3.
$x+3\sqrt[3]{x(2x-3)}\underbrace{(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x-3})}_{\sqrt[3]{12(x-1)}}+2x-3=12x-12$
$3\sqrt[3]{x(2x-3)12(x-1)}=9(x-1)$
$x(2x-3)12(x-1)=27(x-1)^3$
$(x-1)[9(x-1)^2-4x(2x-3)]=0$
atd

edit: oprava

bert.blader · 13. 04. 2015 17:02

↑ zdenek1:
Mohl bych se zeptat, jak jste po prvním umocnění dostal levou stranu rovnice? Konkrétně tedy myslím součin odmocniny a závorky. To jste nedělal podle klasického vzorečku (a+b)^3 ? Nebo jste tam dělal nějaký další úpravy?
Zbytek je mi jasný.

byk7 · 13. 04. 2015 18:38

Dělal to podlé té identity (A+B)^3=..., jenom si to trochu upravil a zrychlil, tj. $(A+B)^3= A^3 + 3A^2B+3AB^2+B^3=A^3+3AB(A+B)+B^3$ , akorát se trošku upsal ve znaménku. Má tam být
$3\sqrt[3]{x(2x\color{red}\boldsymbol{-}\color{black}3)}$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x-3}$$

K tomu druhému příkladu, označme si kořeny tak, že (*)
$x_1=x_6-5d,x_2=x_6-4d,\ldots,x_5=x_6-d,x_7=x_6+d,\ldots,x_{11}=x_6+5d$
podle Viethových vztahů platí
$x_1+x_2+\cdots+x_{11}=6=11x_6$
odkud už získáme jeden kořen.
Pro druhý sčítanec platí
$\sum_{1\le i<j\le11}x_ix_j=-5$
(jinak řečeno, v tom součtu vystupují všechny součiny $x_i\cdot x_j$ , kde $i,j\in\{1,2,\ldots,11\},i<j$
takže
$\sum_{1\le i<j\le11}x_ix_j=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_1x_{11}+x_2x_3+\cdots+x_2x_{11}+\cdots+x_{10}x_{11}$ )
dosadíme za všechna $x_i,x_j$ z (*) a dostaneme kvadratickou rovnici s neznámou $d$ .