Matematické Fórum

Oli26 · 13. 04. 2015 14:47

Prosim o kontrolu prikladu, trochu se v tom ztracim. Dekuji
K mereni hmotnosti mate k dispozici zkalibrovane vahy. Vite, ze namerena hodnota
je nahodna velicina s normalnim rozdelenim o stredni hodnote rovne hmotnosti vazeneho
telesa a smerodatnou odchylkou rovnou 0:4 g. Jestlize je skutecna hmotnost vazeneho telesa
29:5 g, urcete nasledujci:
a) Jaka je pravdepodobnost, ze namerena hodnota bude vetsi nez 29:3 g?
b) Jaka je pravdepodobnost, ze namerena hodnota bude mensi nez 30:6 g?
c) Jaka je pravdepodobnost, ze namerena hodnota bude lezet v intervalu (28:9; 29:6) g?
d) Pod jakou hodnotou bude namerena hmotnost s pravdepodobnosti 0:75?
e) Nad jakou hodnotou bude namerena hmotnost s pravdepodobnosti 0:8?

Pocitala jsem :
a)29,3-29,5= -0,2 $\Phi$ (-0,2) = 1- $\Phi$ (0,2) = 0, 42074 ..... 42%
b)30,6 - 29,5 = 1,1 $\Phi$ (1,1) = 0,84 .....84%
c) P( 28,9<x<29,6) = $\Phi$ ( $\frac{29,6-29,5}{0,4}$ ) - $\Phi$ ( $\frac{28,9}{0,4}$ ) = 0,5319... 53%
d) 29,5+0,68 = 30,18..... pod hodnotou, 30,18gr
0,75 = $\Phi$ 0,68
e) 29,5-0,85= 28,65 ...... nad hodnotou 28,65gr
0,8= $\Phi$ 0,85

Jj · 13. 04. 2015 19:05

↑ Oli26:

Dobrý den.

Řekl bych, že při výpočtu v Excelu apod. můžete využít distribuční funkci F(x) normálního rozložení $_{N(29.5, \, 0.4^2)}$ , při výpočtu pomocí tabulek pak (po příslušné transformaci) distribuční funkci $_{\Phi(x)}$ normovaného normálního rozložení $_{N(0,1)}$ .

Pokud uvážíte, $_{P(X \le x)=F(x)}$ při rozložení $_{N(29.5, \,0.4^2)}$ , X = váha (náhodná veličina), pak

a) $P(X>29.3)=1-P(X\le 29.3)=1-F(29.3)\doteq 0.6915$

b) $P(X< 30.6)=F(30.6)\doteq 0.9970$

c) $P(28.9 < X \le 29.6) = F(29.6)-F(28.9)\doteq 0.5319$

d) $P(X \le x) = 0.75 \Rightarrow x = F^{-1}(0.75)\doteq 29.77$ (k dané pravděpodobnosti je třeba určit hodnotu x --> z inverzní funkce k F(x) )

e) $P(X > x) = 0.8 \Rightarrow P(X \le x) = 1-P(X > x)=1-0.8 = 0.2 \Rightarrow x = F^{-1}(0.2)\doteq 29,16$

pokud jsem se nepřeklepl nebo něco nespletl.

Při výpočtu z tabulek se postupuje obdobně, užije se distribuční funkce normovaného normálního rozložení, při čemž se musí vstupní hodnoty transformovat podle vztahu:

$u = \frac{x - \mu}{\sigma}=\frac{x - 29.5}{0.4}$

Např. v případě a) bude $u = \frac{29.3 - 29.5}{0.4}=-0.5$ a potom

$P(X>29.3)=P(U > -0.5)=1-P(U \le -0.5)=1-\Phi(-0.5)\doteq 1-0,3085=0.6915$ , což musí vyjít stejně jako nahoře.

Podobně je nutno transfomovat i ostatní vstupní hodnoty v dalších příkladech.

Řekl bych, že asi bude účelné získat aspoň min. zkušenosti s užitím distribuční atp. funkcí spojité náhodné veličiny.

Při nejasnostech se klidně ptejte.