Matematické Fórum

Jozy · 14. 04. 2015 21:08 — Editoval Jozy (14. 04. 2015 22:02)

Zdravím, narazil som na nasledovný príklad:

Skúšal som na to ísť typicky úvahou, vypísať si prvých pár členov:
$a_{0}=1 \\ a_{1}=5\cdot 1+0\cdot 6^{0}=5+0\cdot 6^{0} \\ a_{2}=5\cdot 5+1\cdot 6^{1}=25+1\cdot 6^{1} \\ a_{3}=5\cdot 31+2\cdot 6^{2}=155+2\cdot 6^{2} \\ a_{4}=5\cdot 227+3\cdot 6^{3}=1135+3\cdot 6^{3} \\ a_n=?$

Člen $(n-1)\cdot 6^{n-1}$ je jasný v podstate už zo zadania, ale správanie sa toho prvého členu nejak nie som schopný spozorovať. Budem vďačný za každú radu.

Brano · 15. 04. 2015 00:11

ked na to chces ist tak intuitivne, tak by som zacal z druhej strany
najprv ignoruj tu cast $+n6^n$ a mas $a_{n+1}=5a_n$ coho riesenim je $a_n=A5^n$ tak skus dosadit do povodnej rovnice $a_n=b_n5^n$ dostanes $b_{n+1}=b_n+n(6/5)^n$ teda $b_n$ bude typu $\sum n(6/5)^n$ takze skus dosadit $b_n=(pn+q)(6/5)^n+r$ alebo teda celkovo $a_n=(pn+q)6^n+r5^n$ a uz iba dosadenim urci konstanty $p,q,r$

Jozy · 16. 04. 2015 15:42 — Editoval Jozy (16. 04. 2015 15:43)

↑ Brano:
Neviem, ale nemáš tam náhodou chybu (chýba ti tam jedno delenie 5)? Skúšal som ísť podľa teba.

Zo zadania máme:
$a_{n+1}=5a_{n}+n6^{n}$
Majme nejakú ďalšiu postupnosť $b_n$ , že $a_n=b_n5^n$ . Potom $a_{n+1}=b_{n+1}5^{n+1}$ .
Dosaďme do rovnice zo zadania:
$b_{n+1}5^{n+1}=5b_n5^n+n6^{n}$
Upravujme:
$b_{n+1}5^{n+1}=b_n5^{n+1}+n6^{n}$
$b_{n+1}=b_n+\frac{n6^{n}}{5^{n+1}}$
$b_{n+1}=b_n+\frac{n(\frac{6}{5})^{n}}{5}$

Čo ďalej? Ako mám toto teraz previesť na aritmeticko-geometrickú postupnosť?

Brano · 16. 04. 2015 17:40 — Editoval Brano (16. 04. 2015 17:43)

ta $1/5$ nie je podstatna - ale ano formalne som tam mal bud dat nejaku konstantu $C$ alebo rovno tu $1/5$ mne islo iba o to, ze z tohoto
$b_{n+1}=b_n+\frac{n(\frac{6}{5})^{n}}{5}$
vieme, ze $b_n=(pn+q)(6/5)^n+r$ pre vhodne $p,q,r$ ako som uz pisal, takze uz iba dosadenim urcit konstanty ale lepsie je dosadzat rovno za $a_n$ do povodnej rovnice.

Jozy · 17. 04. 2015 13:19

↑ Brano:
Sorry, že sa blbo pýtam, pretože toto sú typové príklady na postupnosti, z ktorých budeme písať záverečnú skúšku, pričom postupnosti ešte len budeme preberať.
Aký tvar teda musí mať vo všeobecnosti nejaké $x_{n+1}$ aby som vedel, že ide o aritmeticko-geometrickú postupnosť typu $x_n=(a+bn)(q)^n+r$ ?

Jozy · 17. 04. 2015 13:33

Ale hej, vyšlo to.
$p=1 \\ q=-6 \\ r=7$
Len teda tá moja blbá otázka, že podľa čoho mám spoznať to $x_{n+1}$ . Má byť tvaru $x_{n+1}=x_n+nq^{n}c$ ?

Brano · 17. 04. 2015 14:30 — Editoval Brano (17. 04. 2015 14:35)

ono mozno to asi nieje az tak dobre pre teba ked to budes robit takto "intuitivne" ja som sa len snazil pokracovat v tebou nahodenom sposobe riesenia

ja som to bral tak, ze suma to je priblizne integral a teda $\sum nq^n$ bude podobne ako $\int nq^n dn$ co je typovo $(a+bn)q^n+c$

keby si to chcel tak systematickejsie tak pomerne formalny postup ti dava metoda neurcitych koeficientov

mas:
$a_{n+1}=5a_n+f_n$ kde to $f_n$ mas nejak pevne dane
najprv z toho vyrobis homgennu rovnicu co je ta
$a_{n+1}=5a_n$ vyriesis a dostanes takzvane vseobecne riesenie homogennej rovnice, ktore si mozes oznacit $a^H_n$ (to v sebe musi nutne mat jednu neurcitu konstanu - ta sa az na zaver urci z toho ze vies $a_0$ )
v tomto pripade je to $a^H_n=A5^n$

a teraz potrbujes akekolvek jedno riesenie rovnice $a_{n+1}=5a_n+f_n$ ktoremu sa hovori aj partikularne a mozes si ho oznacit trebars $a^P_n$ a to sa da "tipnut" na zaklade toho, ze existuje zoznam ktory si mozes skusit vygooglit a ktory obsahuje: Ak $f_n$ je typu ... tak $a^P_n$ je typu ... tam budu nejake konstanty a tie sa doladia z rovnice

veeeeelmi vagne sa da povedat, ze $a^P_n$ je rovnakeho "typu" ako $f_n$ , za predpokladu, ze je $f_n$ slusne t.j. ak je to polynom, tak tipujes polynom ak je to exponencialna funkcia, tipujes exponencialnu funkciu, ak je to polynom*exponenciala, tak tipujes polynom*exponencialu

pre $f_n=n6^n$ treba brat $a^P_n=(pn+q)6^n$ dosadis to a dostanes

$a^P_{n+1}=(pn+p+q)6^{n+1}$
$5a^P_n+n6^n=5(pn+q)6^n+n6^n$
a teda $6(pn+p+q)=5(pn+q)+n$ cize $p=1$ a $q=-6$
cize $a^P_n=(n-6)6^n$

a teda vseobecne riesenie je $a_n=a^H_n+a^P_n=A5^n+(n-6)6^n$ a ked pridas podmienku $a_0=1$ tak mas konretne riesenie.

PS: existuje kopa este formalnejsich postupov, ktore su mozno pracnejsie, ale zas pri nich netreba nejak uvazovat - ale asi by si mal pouzivat to co ste mali na prednaskach.