Matematické Fórum

Crashatorr · 15. 04. 2015 10:33

Zdravím, vůbec si nevím rady s tímto úkolem, mohl by prosím někdo pomoci?

Nechť X je neprázdná podmnožina grupy (G, $\cdot$ ) a nechť
$\langle X \rangle=\{x_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot x^{k_{m}}_{m}, m\in \mathbb{N},x_{i}\in X,k_{i}\in \mathbb{Z}, 1\le i\le m \}$

Ukažte že $<X>\subseteq H$ pro ka6dou podgrupu H grupy (G, $\cdot$ ) splňující podmínku $X\subseteq H$

Rumburak · 15. 04. 2015 14:17

↑ Crashatorr:

Ahoj. Je to velmi jednoduché.

Předpokládejme, že $X\subseteq H$ , kde $H$ je grupa (ať již podgrupa grupy $G$ čí jiná) a

$x_{i}\in X, k_{i}\in \mathbb{Z}, 1\le i\le m , m\in \mathbb{N}$ .

Především pro všechna uvažovaná $i$ je $x_i \in H$ , jak plyne z předpokladu $X\subseteq H$ .

Dále se využije

- skutečnost, že grupa (v našem případě grupa $H$ ) je uzavřená na součin a na operaci inversního prvku,
- definice mocniny,

a ke slovu příjde také indukce (dokonce dvakrát, pokud důkaz má být hodně elementární).

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2015 10:33

Důkaz podgrupy

#2 15. 04. 2015 14:17

Re: Důkaz podgrupy

Zápatí