Matematické Fórum

malarad · 15. 04. 2015 17:57

Prosím o pomoc s příkladem
Zadání:
Tětiva kružnice o poloměru r, které odpovídají obvodové úhly velikosti $60^\circ$ , dělí kruh na dvě úseče. Určete součet obsahů kruhů, které jsou vepsány do těchto úsečí.

Provedl jsem náčrt, našel rovnoramenný trojúhelník.
děkuji

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/13411_p%25C5%2599%25C3%25ADklad%2B24.%252Cstrana%2B140.JPG

Akojeto · 15. 04. 2015 18:25

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/15074_image.jpg

Akojeto · 15. 04. 2015 18:27

↑ malarad:

Ten trojuholník je rovnostranný.

malarad · 16. 04. 2015 00:07

↑ Akojeto:
díky, já myslel rovnostranný, ale napsal jsem rovnoramenný

Jinak tradičně jsem se dostal opět k příkladu až pozdě večer :-(, přesto jsem se do toho dal a vyrobil toto.
Nejsem si jist správností mého postupu, nešlo by to nějak elegantněji?
Děkuji

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/35532_p%25C5%2599%25C3%25ADklad%2B24.%252Cstrana%2B140-22hotovo.JPG

gadgetka

Ahoj, šlo. Nalistovat vlastnosti rovnostranného trojúhelníku a shodu výšky s těžnicí. Výška trojúhelníku je rovna
$r+\frac r2=\frac{3}{2}r$ = průměr velké kružnice. Odtud tedy na malou kružnici zbývá průměr rovný $\frac r2$ .

Poznámka:
$\sin60°=\frac {\frac{3}{2}r}{a}\Rightarrow a=r\sqrt 3$ , což je délka tětivy, čili strana trojúhelníku, jen pro doplnění. ;)

A součet obsahů kružnic:
$\pi $\frac{3r}{4}$^2+\pi$\frac{r}{4}$^2=\frac 58\pi r^2$