Matematické Fórum

jeame · 15. 04. 2015 22:37

ahojte, potřeboval bych pomoct s tímto:

$3^{3}*3^{5}*3^{7}...3^{2n-1}=3^{15}$

kdyby u n-tého členu bylo 2n+1 to bych uměl řešit, ale takhle mi to nevychází, děkuji :)

gadgetka

$3^{3+5+7+...+(2n-1)}=3^{15}$

jeame · 15. 04. 2015 23:20

↑ gadgetka:

je a čím si tím pomůžu? :)

gadgetka

Uděláš součet aritmetické řady mocnin, ve které $a_1=1, a_n =2n-1, d=2$

Edit: A od toho součtu se zřejmě odečte číslo 3, které v té původní řadě chybí...

jeame · 15. 04. 2015 23:28 — Editoval jeame (15. 04. 2015 23:30)

↑ gadgetka:

ten zápis nahoře se změnil, a já tam pořád nevidím to $a_{1}$ ...předtím to vypadalo že sme vytkli, a ted už zase ne :( btw. díky bohu že ještě nespíš :))

gadgetka

Ještě jsem doplnila poslední komentář... mrkni na to.

Edit: Podle posledního členu řady je totiž jasné, že prvním členem řady musí být číslo 3, ale to v té řadě chybí, takže bych ho od celkového součtu odečetla... :)

jeame · 15. 04. 2015 23:35

z posledního členu 2n-1 poznám první člen? jak? :))

gadgetka

Hahahaha ...
$3^{2n-1}$ při $n=1$ je roven 3 ... a tento člen v řadě chybí

Součet té aritmetické řady mi vyšel n^2 a odečetla bych od něj 1, pak bys dostal rovnici
$3^{n^2-1}=3^{15}$

gadgetka · 15. 04. 2015 23:36

Doplníš za n=1.

jeame · 15. 04. 2015 23:40

↑ gadgetka:

výsledek je n=4

gadgetka · 15. 04. 2015 23:41

Opět oprava mé myšlenky ... sčítám jen řadu exponentů ... čili od součtu odečteš pouze 1, nikoli trojku. Teď už to bude na beton sedět. A omlouvám se za zmatky ... nějak mi ten pochod myšlenek v tuto pozdní hodinu jde už pomaleji... :D

gadgetka · 15. 04. 2015 23:41

↑ jeame:

Ano, to už sedí. :)

jeame · 15. 04. 2015 23:41

↑ jeame:
že? :D

jeame · 15. 04. 2015 23:42

↑ gadgetka:

děkuji!! mocmoc :))

gadgetka · 15. 04. 2015 23:42

:*

misaH · 15. 04. 2015 23:44

No - neviem.

Exponenty sú 3+5+7 a to už je tá požadovaná 15.

Potom by malo platiť $2n-1=7$ , z toho $n=4$ .

Ale členy sú evidentne 3, lebo prvý člen $3^1$ je vynechaný.

Ako presne vyzerala úloha? Zistiť n?

jeame · 15. 04. 2015 23:50 — Editoval jeame (15. 04. 2015 23:53)

zadání bylo: Řeště rovnici

takže čistě teoreticky by stačilo jen to nafláknout do jednoho řádku a bylo by?

btw. dvě moje nejoblíbenější ženský takhle v noci tu, to je pecka :D

gadgetka · 16. 04. 2015 00:02

No vidíš, jak to bylo nakonec jednoduché ... stačila k tomu znalost matematiky z první obecné... ;)

jeame · 16. 04. 2015 00:06

↑ gadgetka:

náhodou, mě to tu s tebou bavilo, toš co....(nejlepší je jak tam bude viset 20 komentářů, a lidi budou klikat co sme to tu řešili za složitosti, a přitom bylo potřeba sečíst tři čísla :D

jelena · 17. 04. 2015 00:01 — Editoval jelena (17. 04. 2015 08:58)

Zdravím,

došli jste k výsledku $n=1$ nebo $n=4$ ? Mně ale pro žádné nevychází zkouška.

Podle posledního členu řady je totiž jasné, že prvním členem řady musí být číslo 3, ale to v té řadě chybí, takže bych ho od celkového součtu odečetla... :)

Více průhledně je vynásobit levou a pravou stranu 3, tedy $3\cdot 3^{3}\cdot 3^{5}\cdot 3^{7}...3^{2n-1}=3\cdot 3^{15}$ , ale i tak to povede jen k úpravě $...3^{2n-1}=1$ . Jak to vidíte? Děkuji.

Edit: po cestě přes Opavu (pršelo, to potěšilo :-) pokud úloha bude ve tvaru "pro které k platí rovnost $\prod_{n=1}^{n=k}3^{2n-1}=3^{16}$ ?"
(zde jsem už rovnou doplnila donásobení 3 nalevo a napravo, ať můžeme počítat od n=1 a toto zbytečně neplete), potom lze použit součet prvních $n$ členů pro součet exponentů bez ohledu na podrobný zápis, jak bylo v původní rovnici.

Ale nevím, zda zápis ve tvaru $3^1\cdot 3^{3}\cdot 3^{5}\cdot 3^{7}...3^{2n-1}=\cdot 3^{16}$ "nenutí" předpokládat, že má být $2n-1>7$ ?

jeame · 17. 04. 2015 22:42

↑ jelena:

Prý jsme měli v procvičování původně toto: $3^{3}*3^{5}*3^{7}...3^{2n+1}=3^{15}$ s tím že v písemce Professorin změnila zadání na $3^{3}*3^{5}*3^{7}...3^{2n-1}=3^{15}$ , takže to asi není že žádné sbírky nebo tak, ale z její hlavy.

btw. kdyby to bylo špatně zadané, tak vím zhruba o 30 lidech, kterým by se musela změnit známka na maturitním vysvědčení, páč kvuli tomu příkladu dostali z písemky trojku :)

jelena · 18. 04. 2015 09:19

↑ jeame:

děkuji, ale ať zde napíši cokoliv, tak rozhodující je stanovisko paní učitelky. Předpokládám, že jste po písemce měli podrobný rozbor. Úloha je řešitelná. Já bych ji ale nejspíš nevyřešila - určila bych první člen posloupnosti v součtu exponentů jako $a_1=3$ , $d=2$ , na členech to vychází - to by utlumilo moji pozornost, že ve skutečnosti posloupnost je zadána vzorcem pro n-tý člen $a_n=2n-1$ a tedy můj předpoklad byl chybný.

Sestavená rovnice (pro součet prvních členů AP) by mi nevyšla, učinila bych pár pokusů přepočítat samotnou rovnici, což by nikam nevedlo. No a tak :-)

jeame · 18. 04. 2015 17:28 — Editoval jeame (18. 04. 2015 17:29)

↑ jelena:

sehnal sem řešení v písemce, který je uznaný, zvládla bys najít, kde je tam myšlenková chyba? nebo tam není chyba a člověk se k výsledku dostane, který je prostě špatně?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/70898_pro%2Bjelenu.jpg

jelena · 19. 04. 2015 08:44

↑ jeame:

děkuji, výsledek $n=4$ není špatně. Z "podívám a vidím" platí $3^{3}\cdot 3^{5}\cdot 3^{7}...3^{2n-1}=3^{15}$ pro $3^{3}\cdot 3^{5}\cdot 3^{7}=3^{15}$ , tedy poslední člen $7=2n-1$ .

Ale "podívám a vidím" není technika a použitím "standardní" techniky jsem k tomuto výsledku nedocházela, ani při zkoušce dosazováním ↑ příspěvek 20:. Ve Tvém scanu je technika bez výhrad (alespoň z mého pohledu). Předpokládáme, že $3+5+7+...+2n-1$ tvoří součet prvních n-členů AP (že AP, už máme ověřeno). Kolík členů mám sečíst? Určujeme, kolikátý člen je $(2n-1)$ .

To je levá rovnice $a_r=a_1+(r-1)d$ . Zde je dobře, že se zavedlo nové značení (počítáme součet prvních $r$ členů, $a_1=3$ , $a_r=2n-1$ , $S_r=...$ ). Podle mne všechno v pořádku. Souhlasíš? Děkuji.