Matematické Fórum

elipsa · 18. 04. 2015 14:33

úloha: koľko je riešení sústavy v obore celých čísel x+y+z+w=10, ak $0\le x\le3 \wedge 0\le y\le1 \wedge 0\le z\le10 \wedge 0\le w\le11$
Moje riešenne spočíva vo vypisovaní možností
Napr: 0 0 0 10, 0 0 1 9 .....atď.
Jasne, že to vedie k riešeniu, ale nedá sa to nejako pomocou kombinácie s opakovaním?
Ďakujem pekne

zdenek1 · 18. 04. 2015 16:24

↑ elipsa:
jistěže dá.

rozdělíš si to na dva případy
a) $y=0$
pak máš rovnici $x+z+w=10$ , která má v $\mathbb N_0$ ${12\choose10}$ řešení
(jedná se o kombinace s opakováním, kdy rozděluješ 10 "věcí" do tří kategorií)
jenže v tom jsou započítané i případy, kdy je $x\ge4$ .
Těch je ${8\choose6}$
celkem ${12\choose10}-{8\choose6}$

b) $y=1$
$x+z+w=9$
a další postup stejně jako v a)
${11\choose9}-{7\choose5}$

oba výsledky sečteš