Matematické Fórum

godzila · 18. 04. 2015 00:11

Zdravím, mám 2 podprostory a mám nalézt jejich bázi a dimenzi postupoval jsem takto a dál nevím jak pokračovat.

$P=<(-1,0,1),(2,4,1),(4,4,-1)>\\ Q=<(5,8,1),(-2,4,5),(-1,4,4)>\\ P\cap Q=?\\ X \in P\cap Q\Leftrightarrow \alpha_1(-1,0,1)+\alpha_2(2,4,1)+\alpha_3(4,4,-1)=\beta_1(5,8,1)+\beta_2(-2,4,5)+\beta_3(-1,4,4)\\ \alpha_1(-1,0,1)+\alpha_2(2,4,1)+\alpha_3(4,4,-1)+\beta_1(-5,-8,-1)+\beta_2(2,-4,-5)+\beta_3(1,-4,-4)=\Theta \\ \bordermatrix{\text{}&\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3&\beta_1&\beta_2&\beta_3\cr &-1& 2& 4&-5& 2& 1\cr &0& 4& 4& -8& -4& -4\cr &1& 1& -1& -1& -5& -4} \sim \bordermatrix{\text{}&\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3&\beta_1&\beta_2&\beta_3\cr &1& -2& -4& 5& -2& -1\cr &0& 4& 4& -8& -4& -4\cr &0& 3& 3& -6& -7& -5} \sim \bordermatrix{\text{}&\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3&\beta_1&\beta_2&\beta_3\cr &1& -2& -4& 5& -2& -1\cr & 0& 1& 1& -2& -1& -1\cr & 0& 0& 0& 0& 10& -8}$

Děkuji za pomoc

Al1 · 18. 04. 2015 10:43

↑ godzila:

Druhá matice, poslední řádek je chybný. Správně je

0 3 3 -6 -3 -3

neboť pokud v první matici přičtete třetí řádek k prvnímu, dostanete výše zmíněné.

vulkan66

Na tom příkladu není nic těžkého. Stačí znát definici dimenze a první větu o dimenzi. Z definice dimenze urči dimenzi P, dimenzi Q a dimenzi spojení podprostorů P+Q. Z první větě o dimenzi dopočítej dimenzi průniku.

Pro dim P si nemusíš dělat matici, protože ji vidíš z matice P+Q.

godzila

$P=<(-1,0,1),(2,4,1),(4,4,-1)>\\ Q=<(5,8,1),(-2,4,5),(-1,4,4)>\\$
$P+Q\\ \begin{pmatrix} -1& 0& 1\\ 2& 4& 1\\ 4& 4& -1\\ 5& 8& 1\\ -2& 4& 5\\ -1& 4& 4\\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 4& 3\\ 0& 4& 3\\ 0& 8& 6\\ 0& 4& 3\\ 0& 4& 3\\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 4& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}\\ dimP+Q=2\\ Baze~P+Q=<(-1,0,1),(2,4,1)>$
$X \in P\cap Q\Leftrightarrow \alpha_1(-1,0,1)+\alpha_2(2,4,1)+\alpha_3(4,4,-1)=\beta_1(5,8,1)+\beta_2(-2,4,5)+\beta_3(-1,4,4)\\ \alpha_1(-1,0,1)+\alpha_2(2,4,1)+\alpha_3(4,4,-1)+\beta_1(-5,-8,-1)+\beta_2(2,-4,-5)+\beta_3(1,-4,-4)=\Theta \\$
$\begin{pmatrix} -1& 2& 4&-5& 2& 1\\ 0& 4& 4& -8& -4& -4\\ 1& 1& -1& -1& -5& -4\\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1& -2& -4& 5& -2& -1\\ 0& 4& 4& -8& -4& -4\\ 0& 3& 3& -6& -3& -3\\ \end{pmatrix} \sim \bordermatrix{\text{}&\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3&\beta_1&\beta_2&\beta_3\cr &1& -2& -4& 5& -2& -1\cr & 0& 1& 1& -2& -1& -1\cr & 0& 0& 0& 0& 0& 0}$
$<(2,-1,1,0,0,0),(-1,2,0,1,0,0),(4,1,0,0,1,0),(3,1,0,0,0,1)>\\ v1=2(-1,0,1)-(2,4,1)+(4,4,-1)=(0,0,0)\\ v2=(1,0,-1)+2(2,4,1)=(5,8,1)\\ v3=4(-1,0,1)+(2,4,1)=(-2,4,5)\\ v4=3(-1,0,1)+(2,4,1)=(-1,4,4)\\ u1=(0,0,0)\\ u2=(5,8,1)\\ u3=(-2,4,5)\\ u4=(-1,4,4)\\ v1=u1\\ v2=u2\\ v3=u3\\ v4=u4\\ \begin{pmatrix} 5& -2& -1\\ 8& 4& 4\\ 1& 5& 4\\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1& 5& 4\\ 0& -27& -21\\ 0& -36& -28\\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1& 5& 4\\ 0& 9& 7\\ 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}\\ dim P\cap Q=2\\ Baze P\cap Q = <(5,8,1),(-2,4,5)>\\$

godzila · 19. 04. 2015 09:39

Je to takto správně?

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2015 00:11

Průnik dvou podprostorů

#2 18. 04. 2015 10:43

Re: Průnik dvou podprostorů

#3 18. 04. 2015 11:24 — Editoval vulkan66 (18. 04. 2015 11:37)

Re: Průnik dvou podprostorů

#4 18. 04. 2015 13:08 — Editoval godzila (19. 04. 2015 09:38)

Re: Průnik dvou podprostorů

#5 19. 04. 2015 09:39

Re: Průnik dvou podprostorů

Zápatí