Matematické Fórum

smldsk · 19. 04. 2015 12:06

Ahoj,

Dostali jsme za úkol vypracovat projekt z matematiky. Jsou to 3 příklady. Nějakým způsobem jsem je vyřešil, ale jelikož si nejsem u funkce komplexní proměnné ničím jistý, chtěl bych vás poprosit o kontrolu.

Příklad 1.: "Zjistěte pro jaká z = x+jy má funkce f(z) derivaci a tuto derivaci najděte."

Znám reálnou složku fce u:
$u = (x+6)e^xcosy-ye^xsiny+x^3y^3+x+y$

A taky znám imaginární složku fce v:
$v = ye^xcosy+xe^xsiny+6e^xsiny+x^3y^3+y-x$

Moje řešení: Vyšel jsem z Cauchy-Riemanových podmínek, které mi nevyšly a pokud chápu zadání příkladu dobře, tak takovou derivaci nelze najít.

Příklad 2.: "Rozhodněte zda funkce splňuje předpoklady Cauchyho věty a určete hodnotu křivkového integrálu."

Mám zadanou fci f(z):
$f(z) = -6zsin(6z)$

Integrál
$\int_{\Gamma }^{}f(z)dz$

A křivku gama:
$\Gamma : z(t) = -(\pi /2)*e^{jt}, t \in \langle0,\pi \rangle$

Moje řešení: Ověřil jsem si Cauchy-Riemanovy podmínky, které mi vyšly. Funkce tedy je holomorfní a pro výpočet integrálu jsem použil Cauchyho větu, která říká, pokud se nemýlím, že je-li fce holomorfní na nějaké souvislé oblasti, ve které leží křivka tak nezávisí na průběhu křivky, ale na počátečním a koncovém bodu.
Výsledek integrálu mi vyšel: -pí.

Příklad 3.: "Určete hodnotu křivkového integrálu."

Mám zadanou fci
$\int_{\Gamma }^{}\frac{zsin(z)}{z^2+36}dz$

A křivku
$\Gamma : |z-6|=9$

Moje řešení: Spočítal jsem si residua pro póly fce z1 = -6j a z2 = 6j a pak za pomocí Reziduové věty vypočítal hodnotu itengrálu, která mi vyšla 0.

Za kontrolu budu moc vděčný. Děkuji. :)

jelena · 19. 04. 2015 14:44

Zdravím,

více dotazů v tématu není přehledné viz pravidla, případně rozděl do samostatných, prosím.

K úloze 1) "Zjistěte pro jaká z = x+jy má funkce f(z) derivaci", pokud C-R podmínky nevyšly, to ještě nemusí znamenat, že nevyšly i na určitém oboru. Zkus dořešit soustavu rovnic, co máš pro podmínky (pro Tvé derivace) du/dx=dv/dy, du/dy=-dv/dx. Dokončoval jsi úlohu tak? Děkuji.

smldsk · 19. 04. 2015 15:02

Děkuji za reakci a upozornění. Příště se toho budu držet. :-)

K úloze 1) Příklad jsem skončil hned jakmile mi nevyšly R-C podmínky. Mohla by jste mi prosím více vysvětlit tu soustavu rovnic případně to: "to ještě nemusí znamenat, že nevyšly i na určitém oboru."?

Děkuji.

jelena · 19. 04. 2015 19:21 — Editoval jelena (19. 04. 2015 21:38)

↑ smldsk:

u vás v materiálu je tento typ úloh v kapitole 4.3 (jen s trochu jinou formulaci).

R-C podmínky nevyšly tak, že po derivaci neplatilo du/dx=dv/dy, du/dy=-dv/dx (zapsal jsi parciální derivace do rovnosti), potom ještě ale pokračuj s řešením těchto rovnic. Případně zde zapiš, jak vypadaly podmínky, co nevyšly. Rozumíme se? Děkuji.

Edit: ještě jsem překontrolovala úlohu 3) - mám stejně.

smldsk · 19. 04. 2015 22:04

Děkuji za příklad 3. :-)

K příkladu 1:

$\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x}cosy+xe^xcosy+6e^xcosy-e^xysiny+3x^2y^3+1$

$\frac{\partial v}{\partial y}=e^{x}cosy+xe^xcosy+6e^xcosy-e^xysiny+3x^3y^2+1$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-xe^xsiny-6e^xsiny-e^xsiny-e^xycosy+3x^3y^2+1$

$\frac{\partial v}{\partial x}=xe^xsiny+6e^xsiny+e^xsiny+e^xycosy+3x^2y^3-1$

Z

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

Mi vyšlo

$x=y$

Z

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Mi vyšlo

$x = -y$

To však platí pouze pro 0. Chápu tedy dobře, že taková funkce je holomorfní v případě, že z = 0?

jelena · 19. 04. 2015 23:07

↑ smldsk:

derivace jsem prošla jen zběžně (ale zdá se v pořádku), případně ještě překontrolovat v MAW, jinak závěr bych měla stejný. Jen pro pořádek - rovnice $3x^2y^3=3x^3y^2$ v součinové tvaru je $x^2y^2(y-x)=0$ má řešení: $x=0$ , nebo $y=0$ , nebo $x=y$ .

taková funkce je holomorfní v případě, že z = 0?

ano, to by byl závěr k hledání "pro jaká z = x+jy má funkce f(z) derivaci", ale kompletní řešení však ještě třeba doplnit - viz řešení rovnice v součin. tvaru.

Rumburak

↑ smldsk: , ↑ jelena:

Ahoj.

Jen poznámky.

1. U podobných úloh se občas zapomíná na to, že vedle splnění CR podmínek musí mít reálné funkce $u, v$ ještě totální
diferenciál v bodě $z$ , aby funkce $f = u + vi$ měla v tomto bodě derivaci podle komplexní proměnné.
U této úlohy je podmínka s TD splněna celkem triviálně, neboť zmíněné funkce mají spojité parc. derivace, jak je zřejmé.

2. A. Pokud vím, tak holomorfnost funkce $f$ je (primárně) vlastnost funkce $f$ vzhledem k otevřené množině $G$
spočívající v tom, že $f'(z)$ existuje v každém bodě $z \in G$ . Říkáme pak, že funkce $f$ je holomorfní v (otevřené)
množině $G$ .
B. Říkáme-li, že funkce $f$ je holomorfní V BODĚ $z$ , je tím míněno, že je holomorfní v nějakém (otevřeném) okolí bodu $z$ .
Samotná existence $f'(z)$ tedy k holomorfnosti funkce $f$ v bodě $z$ nestačí - tak aspoň to znám já, ale je možné,
že vycházíte z jiné soustavy definic - doporučuji to prověřit.

jelena · 21. 04. 2015 12:14

↑ Rumburak:

Zdravím, vážený kolego a děkuji za poznámky :-)

1. jsem určitě nezapomněla, jelikož to je předpoklad základní (ale v zadání žádné riziko neplynulo),

2. v definicích se nejspíš shodneme (budu se držet Rektoryse, kterého po ruce mám).

Jen dotaz - úloha 1. "Zjistěte pro jaká z = x+jy má funkce f(z) derivaci a tuto derivaci najděte." požadovala najít z, pro která je derivace. To jsme snad splnili (alespoň ve formě postupu), ale asi jsme neměli psát, že funkce je holomorfní. Za prvé se nás na to neptali, za druhé - dle mého přečtení Rektoryse bychom postupem splnili "nutnou a postačující podmínku derivace", ale asi bychom nedoložili holomorfnost.

Tedy jasně a důrazně, prosím, - zanedbali jsme něco? Děkuji.

Rumburak · 21. 04. 2015 12:37

↑ jelena:

Ahoj.

Já jsem v podstatě jen reagoval na úvahu

Moje řešení: Ověřil jsem si Cauchy-Riemanovy podmínky, které mi vyšly. Funkce tedy je holomorfní ...

uvedenou v příspěvku ↑ smldsk: , z níž mi připadalo, že kolega možná nemá zcela jasno v terminologii.

smldsk · 21. 04. 2015 12:39

Děkuji za reakce, moc mi to pomohlo.

jelena napsal(a):
ale asi jsme neměli psát, že funkce je holomorfní

Funkce by holomorfní být neměla, protože funkce je holomorfní jen tehdy pokud má derivaci na nějaké množině bodů. Pokud jsem to správně pochopil. Naše funkce má derivaci jen v jednom bodě, takže holomorfní určitě není. Říkám to správně?

Děkuji.

Rumburak

↑ smldsk:

Ano, derivace v jednom bodě k holomorfnosti nestačí - podrobněji viz ↑ Rumburak:.

Aby nevzniklo nějaké nedorozumění, můžeš ještě upřesnit, o kterou funkci Ti v této souvislosti jde ?

jelena · 21. 04. 2015 14:04

↑ Rumburak:

děkuji za zapojení do tématu :-)

Řešili jsme úlohu:

Příklad 1.: "Zjistěte pro jaká z = x+jy má funkce f(z) derivaci a tuto derivaci najděte."

Znám reálnou složku fce u:
$u = (x+6)e^xcosy-ye^xsiny+x^3y^3+x+y$

A taky znám imaginární složku fce v:
$v = ye^xcosy+xe^xsiny+6e^xsiny+x^3y^3+y-x$

V příspěvku ↑ č. 5: kolega sestavil parciální derivace a C-R podmínky, ze kterých ověřuje:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$
$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

a) můj drobný komentář, že řešením soustavy
$3x^2y^3=3x^3y^2$
$3x^3y^2=-3x^2y^3$

není jen bod z=0, ale řešení soustavy je třeba opravit (neztracením kořenů součinového tvaru).

b) to podstatné - najde tak "pro jaká z = x+jy má funkce f(z) derivaci a tuto derivaci najděte." (bez povídání o holomorfních funkcích - povídání vzniklo odkazem na materiál, str. 38)

Vnesla jsem jasno? Děkuji velice.

Rumburak

↑ jelena:

Dejme tomu, že soustava

(1) $3x^2y^3=3x^3y^2 \wedge 3x^3y^2=-3x^2y^3$

je správná (na konrolu dnes nějak nemám). Můžeme ji ekvivalentně upravit na

$x^2y^2(y-x) = 0 \wedge x^2y^2(x+y) = 0$ .

Bod $[x, y]$ ji řeší zcele jistě (jak lze ověřit zkouškou) v těchto případech:

1) $x = 0$ , $y$ libovolné ,
2) $y = 0$ , $x$ libovolné .

Předpoklad $x \ne 0 \ne y$ vede k soustavě $y = x \wedge y = -x$ , odkud $x=y = 0$ , což dává spor s uvažovaným
předpokladem.

Soustava (1) je tedy splněna právě na souřadnicových osách.

Poznámka.
Ani za těchto nových okolností nelze hovořit o holomofnosti, protože "souřadnicový kříž" je množina s prázdným vnitřkem,
takže neprázdná otevřená množina, na níž by funkce měla derivaci, neexistuje.

jelena · 22. 04. 2015 00:18

↑ Rumburak:

děkuji, ano - soustava mi vyšla stejně (derivace jsem však prošla jen zběžně).

Ani za těchto nových okolností nelze hovořit o holomofnosti,

my jsme neměli hovořit o holomorfnosti, ale jen - zda funkce má derivaci pro některé z = x+jy. A to si nějak nedokáži ujasnit - která formulace je nadřazena. Viz v již zmiňovaném odkazu na str. 38

výřez z náhledu na text Zobrazit/skrýt!

Potom zde - z čeho potom plyne řešení úlohy na str. 36 - číslování v textu. Jak mám interpretovat:

výřez z náhledu na text Zobrazit/skrýt!

Možná by i kolega - autor tématu mohl vnést jasno z konzultace nebo materiálem. No uvidíme. Ještě jednou děkuji.

Rumburak · 23. 04. 2015 11:40

↑ jelena:

Opět zdravím.

Na první pohled bych řekl, že v posledním tvrzení v tohoto textu vypadla podmínka na existenci totálních diferenciálů
funkcí $u, v$ na uvažovaném okolí bodu $z_0$ .

Ale je zde teoretická možnost, že splnění CR-podmínek na otevřené množině již vede k existenci totálních diferenciálů
funkcí $u, v$ tamtéž. Pak by ale bylo od autorky etické zmínit se o tom. Abych mohl věc posoudit, musel bych si zopakovat
parciální diferenciální rovnice - v tuto chvíli fakt nevím.

jelena · 23. 04. 2015 12:35

↑ Rumburak:

opětuji pozdrav.

kolega Rumburak napsal(a):
Abych mohl věc posoudit, musel bych si zopakovat
parciální diferenciální rovnice

nejspíš to není literární obor, u kterého bych doporučovala setrvat :-)

Jasno by vnesl nejspíš kolega ↑ smldsk:, jelikož úlohu má, řekneme, vyřešenou, ale nedohodli jsme se na závěru řešení (a překážkou je možný rozpor v definicích). Cvičně (a zcela časově neomezeně) si můžeme dat za DÚ vyřešení úlohy z odkazu 2 a zda se shodneme s autorem.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/85113_kompl.JPG

Za sebe se ale nehlásím moc aktivně, jsou teď jiné priority a zájmy. Děkuji velice za účast v tématu.

Rumburak · 23. 04. 2015 13:49

↑ jelena:

Ta část s funkcí $f$ mi z těch skript připadá jasná a chybu jsem nenašel.

Pokud jde o část úlohy s funkcí $g$ , pak podle mne mělo být (str. 37 nahoře)

$\frac{\partial}{\partial x} \cos^2(x - jy) = 2\cos(x - jy) (-1)\sin(x - jy),$

zatímco jim ta $(-1)$ vypadla. (Dále jsem nepokračoval).

Je tam ještě něco problematického ?

jelena · 23. 04. 2015 21:49

↑ Rumburak:

Je tam ještě něco problematického ?

tam nevím, ale proč oni mají derivaci na přímce $x=y$ nebo dokonce v izolovaných bodech (pro 2. úlohu), ale my s naším výsledkem na souřadnicových osách derivaci nemáme? Ale nijak to nespěchá, děkuji.

Rumburak · 24. 04. 2015 09:45

↑ jelena:
Nevím, zda se v tématu dobře orientuji (příliš mnoho úloh). Co je "náš výsledek" ? Pakliže ↑ Rumburak: , potom kdo tvrdí,
že na souřadnicových osách derivace neexistuje ? Jsou tam přece splněny CR podmínky a je zřejmé, že funkce u, v mají všude
spojité parc. derivace a tudíž v každém bodě (a tedy i na osách) totální diferenciál. Napsal jsem, že neexistuje neprázdná
OTEVŘENÁ množina, na níž by derivace existovala, což je pravda, protože sjednocení souřadnicových os (jedině na němž
derivace existuje) je množina s prázdným vnitřkem.

Druhou část dotazu "proč oni mají ... ?" jsem zatím neřešil - předpokládám, že po výše uvedeném vysvětlení z mé strany
to už nebude nutné. :-)

jelena · 24. 04. 2015 10:07

↑ Rumburak:

ach jo :-) Naše jediná úloha byla ↑ příspěvek 1, příklad 1:

Příklad 1.: "Zjistěte pro jaká z = x+jy má funkce f(z) derivaci a tuto derivaci najděte."
Znám reálnou složku fce u:
$u = (x+6)e^xcosy-ye^xsiny+x^3y^3+x+y$

A taky znám imaginární složku fce v:
$v = ye^xcosy+xe^xsiny+6e^xsiny+x^3y^3+y-x$

Má funkce derivaci na souřadnicových osách? Děkuji.

Rumburak

↑ jelena:

Z mé strany také "Ach jo". :-)

Myslel jsem, že to bude jasné přinejmenším z mého příspěvku ↑ Rumburak:, kde je shrnuto i odůvodnění.
Tedy ANO, ANO, ANO. :-)

jelena · 24. 04. 2015 12:41

↑ Rumburak:

:-) ano, ano - pochopeno. Moje chyba - v úvodních odkazech (pro pohodlnost) jsem použila odkazy, kde se rozebírá holomorfní funkce (i když to po nás nechtěli) a z debaty již jsem byla zviklaná - jestli mít derivaci a být holomorfní nemá být ekvivalentní.

Děkuji, za odměnu budeš ušetřen čtení oblíbené autorky :-) (u nás v knihovnách jsem odnesla všechna vydání "nevesnických" děl, již mám 3 knihy za sebou - dobře se to čte porovnáním s vlastním komentářem autorky k podmínkám napsání), ale nebudu využívat donucovací prostředky

Rumburak · 24. 04. 2015 14:33

↑ jelena:

již jsem byla zviklaná - jestli mít derivaci a být holomorfní nemá být ekvivalentní.

Obecně ne, pouze ve speciálních případech, jak již bylo uvedeno.

jelena · 25. 04. 2015 09:19

↑ Rumburak: dobře, označím za vyřešené (2. úlohu z úvodního příspěvku jsme sice nekontrolovali, ale kolega dostal pokyn, že v případě potřeby si založí nové téma). Spíš předpokládám, že práce je již odevzdána. Děkuji za ochotu a trpělivost :-)

Eve · 15. 04. 2018 16:39

↑ jelena: Zdravim, hezky jste tu vyresili cast ulohy (pro jaká z = x+jy má funkce f(z) derivaci), ale mne by zajimala vice ta druha cast ulohy (tuto derivaci najděte). Mohli byste to pripadne prosim doplnit? Dekuji

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2015 12:06

Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#2 19. 04. 2015 14:44

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#3 19. 04. 2015 15:02

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#4 19. 04. 2015 19:21 — Editoval jelena (19. 04. 2015 21:38)

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#5 19. 04. 2015 22:04

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#6 19. 04. 2015 23:07

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#7 20. 04. 2015 10:17 — Editoval Rumburak (20. 04. 2015 10:23)

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#8 21. 04. 2015 12:14

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#9 21. 04. 2015 12:37

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#10 21. 04. 2015 12:39

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

jelena napsal(a):

#11 21. 04. 2015 13:26 — Editoval Rumburak (21. 04. 2015 13:27)

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#12 21. 04. 2015 14:04

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#13 21. 04. 2015 15:27 — Editoval Rumburak (21. 04. 2015 15:33)

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#14 22. 04. 2015 00:18

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#15 23. 04. 2015 11:40

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#16 23. 04. 2015 12:35

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

kolega Rumburak napsal(a):

#17 23. 04. 2015 13:49

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#18 23. 04. 2015 21:49

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#19 24. 04. 2015 09:45

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#20 24. 04. 2015 10:07

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#21 24. 04. 2015 10:22 — Editoval Rumburak (24. 04. 2015 10:22)

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#22 24. 04. 2015 12:41

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#23 24. 04. 2015 14:33

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#24 25. 04. 2015 09:19

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

#25 15. 04. 2018 16:39

Re: Derivace a integrace funkce komplexní proměnné

Zápatí