Matematické Fórum

Tomas5 · 19. 03. 2015 18:30 — Editoval Tomas5 (19. 03. 2015 18:39)

Dobrý den,
určete rovnice symetrie podle roviny $\varrho : x-2y-z-6=0$ .
Postupoval jsem podle vzorového příkladu ve skriptech Ježek: Geometrie 2 pro FST tak, že jsem určil normálový vektor
$\vec n = (1,-2,-1)$ a zvolil jsem bod X na rovině pro $x=0$ a $y=0$ tedy $X=[6,0,0]$ . Normálový vektor roviny xy je $\vec z = (0,0,1)$ . Úhel otočení je $\cos \varphi =\frac{|\vec n.\vec z|}{|\vec n|.|\vec z|}$ , $\cos \varphi =\frac{|(1,-2,-1).(0,0,1)|}{\sqrt{6}}.1=\frac{1}{\sqrt{6}}$ , $\sin \varphi =\sqrt{\frac{5}{6}}$
Dosadím d vzorce $T = P.R.S.R^{-1}.S^{-1}$
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/84832_ddfsfds.png

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$R = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$S= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$R^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$S^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -6 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Vynásobím postupně tyto matice a vychází mi špatný výsledek :
$T = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & 0 & \frac{\sqrt{5}}{3}& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ -10 & 0 & 2.\sqrt{5} & 1 \end{pmatrix}$
Nepožaduju řešení, jenom bych chtěl poprosit o radu jak mají být sestaveny ty matice P, R, S, R^{-1}, S^{-1} nebo kde mám chybu v jejich sestavení.
Děkuji za pomoc.

Rumburak

↑ Tomas5:
Ahoj.

Řekl bych, že metoda ze skript může svojí zbytečnou krkolomností i odrazovat od matematiky.

Hledáme prostorové zobrazení $f$ takové, aby

1) vektor $f(X) - X$ pro každé $X$ byl $\lambda$ - násobkem normálového vektoru dané roviny,
kde reálné číslo $\lambda$ ovšem BUDE záviset na $X$ ;

2) bod $\frac{1}{2}\,$X + f(X)$$ (v podstatě střed úsečky s krajními body $X, f(X)$ ) ležel v dané rovině.

Takže stačí sestavit potřebné rovnice a vypočítat z nich neznámou $\lambda$ . Vyjádřit pak zobrazení $f$
v požadovaném tvaru, v němž by figurovala matice této transformace, by už také nemělo být těžké.

Myslím, že skripta pro techniky ne vždy jsou vhodným studijním materiálem pro studenta MFF.

Tomas5 · 20. 03. 2015 12:39

Děkuji za odpověď.
Zkusil jsem použít návod, ale stále to nevychází, nevím jak vyjádřit lambdu.
$f(X) - X$ = $\lambda. (1,-2,-1)$ a
$\frac{1}{2}\,$X + f(X)$$ = $(1,-2,-1)+\lambda. (1,0,1)$
Potom by vyšlo $f(X) = (\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{2}{3})+\lambda. (1,-\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$ a pro $\lambda = -2$ je $X = [0,-4,-4]$ mám to asi špatně.

Rumburak

Máme rovinu $\varrho : x-2y-z-6=0$ , jejímž normálovým vektorem je $\vec{n} = (1,-2,-1)$ .
Připomeňme, že výraz $x-2y-z$ je skalárním součinem vektorů $\vec{n}, (x, y, z)$ .

Nechť $X = [x, y, z]$ je obecný bod prostoru, $P = [0, 0, 0]$ počátek soustavy souřadnic.
Rovnici roviny $\varrho$ , pak můžeme pomocí skalárního součinu vektorů psát v přehlednějším tvaru

(0) $\vec {n}\cdot (X-P) = 6$ .

Je-li $f(X) - X = \lambda \vec{n}$ , potom $f(X) = X + \lambda \vec{n}$ a

(1) $\frac{1}{2}\,$X + f(X)$ = \frac{1}{2}\,$X + X + \lambda \vec{n}$ = X + \frac{\lambda}{2} \vec{n}$ .

Tento bod má patřit do roviny $\varrho$ , tedy musí být dle (0) splněna rovnice

$\vec {n}\cdot$X + \frac{\lambda}{2} \vec{n} - P$ = 6$ ,

odtud snadno $\vec{n}\cdot (x, y, z) = 6 - \frac{\lambda}{2} |\vec{n}|^2$ , $\lambda = ...$ .

Napsal jsem, že "reálné číslo $\lambda$ nebude záviset na $X$ ", ale to byl, jak je vidět, můj omyl, za který se
omlouvám.

vanok · 20. 03. 2015 14:21 — Editoval vanok (20. 03. 2015 14:24)

Pozdravy,
Poznamka:
Dve metody v skratke
1)zmena reperu Bod M je v rovine
i,j dva ortogonalne vektory roviny
n normalny vektor na rovinu
V repery (M; n,i,j) mame s(n)=-n, s(i)=i, s(j)=j
To da maticu...a potom sa rate do povodneho reperu.

2)pouzitie znamej relacie $s(x)=x-2\frac {(x|n)}{||n||^2}n$

Tomas5 · 20. 03. 2015 16:02

Děkuji moc,
dostanu rovnici $(1,-2,-1).(x,y,z)=6-3.\lambda$ a vyjádřím $\lambda =-\frac{1}{3}.x+\frac{2}{3}.y+\frac{1}{3}.z+2$ . X-ová souřdnice mi vyšla správně $x' = \frac{2}{3}.x+\frac{2}{3}.y+\frac{1}{3}.z+2$ ale y-ovou a z-ovou souřadnici mám špatně podle výsledků. Nevím jestli se lambda mění nebo zůstává konstantní. Děkuji za radu.

Rumburak

↑ Tomas5:
Mně se osvědčilo co nejvíce úkonů provádět oběcně. Například z rovnice $\vec{n}\cdot (x, y, z) = 6 - \frac{\lambda}{2} |\vec{n}|^2$
dostaneme

$\lambda = \frac{2}{ |\vec{n}|^2}(6 - \vec{n}\cdot (x, y, z) )$

a tedy

$f(x, y, z) = f(X) = X + \lambda \vec{n} = [x, y, z] + \frac{2}{ |\vec{n}|^2}(6 - \vec{n}\cdot (x, y, z) )\vec{n}$ .

Teprve sem bych dosazoval za složky vektoru $\vec{n}$ s následnými úpravami.

Tomas5 · 20. 03. 2015 17:38

Krásné, děkuji za vysvětlení.

vanok · 21. 03. 2015 13:12

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Pridavam pre uplnost jedno z rieseni o ktorych som vyssie pisal, co doplni tvoj pristup.
(pracujem poochopitalne v standardnej bazy)

Mame danu afinnu rovinu $\varrho : x-2y-z-6=0$ , ku ktorej jej asociovana jej vektorova rovina
$R : x-2y-z=0$ .
Ich normalovy vector je
$\vec n= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ .
Co nam da $||\vec n||^2=(\vec n|\vec n)=1+4+1=6$
Akoze linearna cast hladanej symetrie $s$ je $\sigma$ , ktora je pochopitelne ortogonalnana symetria vzladom k rovine $R$ .
Bod $I=(6,0,0)$ je v rovine $\varrho$ a preto $s(I)=I$ .
Pre lubovolny bod $M(x,y,z)$ mame
$\overrightarrow{Is(M)}=\overrightarrow{s(I)s(M)}=\sigma(\overrightarrow{IM)}=\overrightarrow{IM}-\frac {2\overrightarrow{IM}|\vec n}{||\vec n||^2} \vec n$
Akoze
$\overrightarrow{IM}=\begin{pmatrix} x-6 \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ,
dostaneme $(\overrightarrow{IM}|\vec n)=x-6-2y-z$ .
Tak mame $\overrightarrow{Is(M)}=\begin{pmatrix} x-6 \\ y \\ z \end{pmatrix} -\frac {x-2y-z-6}3 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}=\frac 13\begin{pmatrix} 2x +2y+z-12 \\ 2x-y-2z-12 \\ x-2y+2z-6 \end{pmatrix}$
Konecne dostaneme
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}=\overrightarrow{Os(M)}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{Is(M)}= \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\overrightarrow{Is(M)}= \frac 13\begin{pmatrix} 2x +2y+z+6 \\ 2x-y-2z-12 \\ x-2y+2z-6 \end{pmatrix}$

Rumburak

↑ vanok:

Ahoj.

Děkuji za doplnění. Musel jsem si na prostudování najít čas - rozhodně nejde o příspěvek, který bych považoval
za snadno přístupný, což je do značné míry dáno mými mezerami ve znalostech geometrických metod. Proto
reaguji se zpožděním. Metoda je zajímavá, sám bych na ni určitě nepřišel .

Eratosthenes · 17. 04. 2015 15:23

ahoj ↑ Tomas5:

měl jsi to asi celé dobře jen jsi špatně opsal vzoreček - musíš posunout (P), potom otočit (R) ozrcadlit (S) a potom zpátky otočit (R^{-1}) a pak ne ozrcadlit, ale posunout, takže ne

$T = P.R.S.R^{-1}.S^{-1}$

ale

$T = P.R.S.R^{-1}.P^{-1}$

↑ Rumburak: : Mám zcela opačné zkušenosti. Tato metoda není krkolomná a už vůbec neodrazuje od matematiky - naopak. Když se pochopí, je velmi jednoduchá a navíc ukazuje zcela jednotný a univerzální postup, jak takové transformace programovat v grafických systémech.

PS: Říká se, že všechno, co člověk umí, je pro něj jednoduché. Nepochopitelné a složité je pro něj jenom to, co neumí.

Rumburak

↑ Eratosthenes:
Na tom úsloví je mnoho pravdy a na moji osobu a tento případ jistě sedí. Ale myslím si, že i kdybych ony metody ovládal,
v případě této úlohy bych je nepoužil - prostě proto, že řešit jednoduchou úlohu takovým způsobem (podle mého názoru
zbytečně složitým) by mi nepřišlo níjak zvlášť zajímavé. Je to samozřejmě věc mého osobního vkusu. Naštěstí nejsem
student a mohu si vybírat, kterou úlohu budu řešit a jak. Pokud se moje řešení bude hodit někomu dalšímu, tím lépe. :-)

Eratosthenes · 17. 04. 2015 16:11

↑ Rumburak:

Každý samozřejmě ať si zvolí metodu, která mu vyhovuje. My takto se studenty skládáme zobrazení zcela běžně - hned v 1. ročníku asi ve druhém týdnu. Je to pro ně bezvadná příležitost procvičit násobení matic, které se právě naučili, i první setkání s izomorfismem, na kterém je vidět, že k něčemu je. Při ručním počítání samozřejmě skládáme do cca tří matic, u složitějších zobrazení (jako je toto) si stačí uvědomit, jak zrcadlo ztotožnit s některou souřadnicovou rovinou a jak ji potom vrátit zpátky. Násobení pak provede počítač.

Na téma komplikovanosti a odrazování od matematiky jsem kdesi viděl zajímavý příspěvek a možná v Ostaním založím na toto téma vlákno...

Rumburak · 17. 04. 2015 16:43

↑ Eratosthenes:

Kursem lineární algebry jsem v prvním semestru také prošel, ale na geometrické souvislosti tam nebyl kladen velký důraz -
mohu-li to po těch letech posoudit. Navíc jsem patřil k těm studentům, kterým lépe šla analýza než algebra, zatímco u většiny
mých tehdejších spolužáků v ročníku tomu bylo právě naopak. Možná že i to se promítá do mého "vkusu" , mohu-li to
takto nazvat.
Do toho zamýšleného vlákna se určitě rád podívám.

Rumburak

↑ Eratosthenes:
Abychom si lépe rozuměli, ještě dodám:

I když s metodou doporučovanou v oněch skriptech nemám osobní zkušenost, její princip mi, domnívám se, není nejasný:
Hledaná isometrická tranformace se má nalézt tak, že se zkomponuje z jakýchsi transformací elementárních, jimiž jsou
například

- posunutí,
- symetrie podle souřadnicových (či jiných významných) rovin,
- otočení okolo souřadnicových os (či jiných významných přímek).

Transformační rovnice pro posunutí a pro symetrie dle souřadnicových rovin jsou zřejmé, rovnice pro otočení okolo těch os
už nikoliv, ale dají se s trochou trpělivosti odvodit (například pomocí znalostí o součinu komplexních čísel).

Avšak správně poskládat tyto elementární transformace tak, abychom dostali transformaci, kterou hledáme, klade, zdá se mi,
celkem vysoké nároky na prostorovou představivost a je proto snadné zde udělat chybu.

Trénovat prostorovou představivost je jistě důležitou průpravou strojaře, stavaře a neuškodí ani matematikovi. Avšak od
matematika (a kolega ↑ Tomas5: se k MFF hlásí) se zároveň očekává, že bude umět nalézt jednoduché řešení, pokud takové
existuje. A metoda založená na klasické analytické geometrii a spočívající v tom, že požadavky kladené na hledanou transformaci
zformulujeme pomocí dvou zřejmých rovnic, z nichž celkem snadno vypočteme neznámou reálnou funkcí $\lambda$ , na níž jedině řešení
závisí, mi přece jen připadá poněkud jednodušší (i proto, že se nemusíme zabývat nezáživným násobením matic).

Snad jsem se mohl sdržet poněkud hanlivého hodnocení první metody - za tento svůj úlet se samozřejmě omlouvám.

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2015 18:30 — Editoval Tomas5 (19. 03. 2015 18:39)

rovnice symetrie podle roviny

#2 20. 03. 2015 10:31 — Editoval Rumburak (20. 03. 2015 14:04)

Re: rovnice symetrie podle roviny

#3 20. 03. 2015 12:39

Re: rovnice symetrie podle roviny

#4 20. 03. 2015 14:02 — Editoval Rumburak (20. 03. 2015 14:10)

Re: rovnice symetrie podle roviny

#5 20. 03. 2015 14:21 — Editoval vanok (20. 03. 2015 14:24)

Re: rovnice symetrie podle roviny

#6 20. 03. 2015 16:02

Re: rovnice symetrie podle roviny

#7 20. 03. 2015 16:26 — Editoval Rumburak (20. 03. 2015 16:27)

Re: rovnice symetrie podle roviny

#8 20. 03. 2015 17:38

Re: rovnice symetrie podle roviny

#9 21. 03. 2015 13:12

Re: rovnice symetrie podle roviny

#10 17. 04. 2015 14:37 — Editoval Rumburak (17. 04. 2015 15:22)

Re: rovnice symetrie podle roviny

#11 17. 04. 2015 15:23

Re: rovnice symetrie podle roviny

#12 17. 04. 2015 15:50 — Editoval Rumburak (17. 04. 2015 15:57)

Re: rovnice symetrie podle roviny

#13 17. 04. 2015 16:11

Re: rovnice symetrie podle roviny

#14 17. 04. 2015 16:43

Re: rovnice symetrie podle roviny

#15 20. 04. 2015 11:19 — Editoval Rumburak (20. 04. 2015 15:23)

Re: rovnice symetrie podle roviny

Zápatí