Matematické Fórum

Witiko · 20. 04. 2015 13:54 — Editoval Witiko (20. 04. 2015 19:03)

Dobrý den,

Mějme diskrétní náhodnou veličinu $X:\mathcal{A}\to\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$ pro nějaké jevové pole $\mathcal{A}$ a $A_1,A_2,\ldots,A_n\in\mathbb{K}$ pro vhodné pole $\mathbb{K}$ . Nechť má tato veličina neznámé rozdělení a pravděpodobnostní funkci $f_X:\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}\to\langle0,1\rangle$ . Dále mějme $k$ náhodných výběrů $x_i$ z veličiny $X$ . Označme si počet náhodných výběrů s hodnotou $A_i$ jako rozdělení $Y_i=|\{x_j=A_i\,|\,1\leq j\leq n\}|$ . Pak podle Pearsonova testu dobré shody se má náhodná veličina $\sum_{i=1}^k\frac{\left(Y_i-kf_X(A_i)\right)^2}{kf_X(A_i)}$ blížit rozdělení $\chi^2(k-1)$ , pokud výběry $x_i$ sledují rozdělení $X$ .

Zajímalo by mě, jestli existuje nějaký elegantní důkaz tohoto tvrzení. Snažím se přímo zredukovat $\sum_{i=1}^k\frac{\left(Y_i-kf_X(A_i)\right)^2}{kf_X(A_i)}$ do tvaru $\sum_{i=1}^{k-1}Z_i$ , kde $Z_i$ jsou náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Náhodné veličiny $Y_i$ mají zjevně binomické rozdělení s četností $k$ a pravděpodobností $f_X(A_i)$ a tedy střední hodnotou $E[Y_i]=kf_X(A_i)$ . To mi umožňuje redukovat $\sum_{i=1}^k\frac{\left(Y_i-kf_X(A_i)\right)^2}{kf_X(A_i)}$ do tvaru $\sum_{i=1}^k\frac{\left(Y_i-E[Y_i]\right)^2}{E[Y_i]}$ , kde můj dosavadní postup končí.

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2015 13:54 — Editoval Witiko (20. 04. 2015 19:03)

Důkaz testu dobré shody

Zápatí