Matematické Fórum

canicula

Dobrý den,
ráda bych se zeptala na řešení jednoho příkladu na pravděpodobnost.
Zadání (Petáková 171/21): Rozhodněte, který z případů a), b) je pravděpodobnější.
a) Při dvaceti hodech kostkou padne šestka alespoň desetkrát.
b) Při dvaceti hodech kostkou padne šestka nejvýše desetkrát.

Počet pokusů v obou případech je tedy $n = 20$ , v a) je $k = \{10, 11, ..., 20\}$ a v b) $k = \{0, 1, ..., 10\}$ . Pravděpodobnost, že pokus skončí zdarem je $p = \frac{1}{6}$ a nezdar má pravděpodobnost $q = \frac{5}{6}$ . Začnu tedy počítat pro $k = 0$ :
${20 \choose 0} \cdot \Big(\frac{1}{6}\Big)^0 \cdot \Big(\frac{5}{6}\Big)^{20}$ ...
Spočítala jsem b) a vyšlo mi to správně, ale je to přespříliš zdlouhavé. Jak by se dal postup zkrátit? Bylo by například rozumnější použití opačného jevu, že by pak například bylo počítáno s tím, že a) při dvaceti hodech kostkou padne šestka alespoň desetkrát a b) při dvaceti hodech kostkou padne šestka alespoň jedenáctkrát a pak pravděpodobnost pro k = 11 přičtu?

gadgetka · 19. 04. 2015 09:42

Ahoj, přes opačný jev: padne právě jedenáctkrát. :)

canicula · 19. 04. 2015 10:02

↑ gadgetka:
Tedy:
${20 \choose 11}\cdot \Big(\frac{1}{6}\Big)^{11} \cdot \Big(\frac{5}{6}\Big)^{9} = 8.972 \cdot 10^{-5}$ ?

gadgetka

Nenene, pouze

$P(A')=\Big(\frac{1}{6}\Big)^{11}$
$P(A)=1-P(A')=0,9999$

... aspoň si teda myslím... ;)

Edit:
Zřejmě správný zápis té mé myšlenky by měl být:
$1-$\frac 16$^{11} \cdot $\frac 56$^9$

canicula · 19. 04. 2015 10:32

↑ gadgetka:
Ano, tak to má vyjít. A u a) je to 0.0006. Ale jak jste na to přišla?
${11 \choose 11}\cdot \Big(\frac{1}{6}\Big)^{11} \cdot \Big(\frac{5}{6}\Big)^{11-11}$ ?
A jak lze postupovat u a)? Znegovat to na: nejvýše devětkrát při 20 hodech padne šestka?

gadgetka · 19. 04. 2015 11:39

Opačný jev k a) by byl zřejmě, že šestka padne maximálně 10krát.

canicula · 20. 04. 2015 18:44

↑ gadgetka:
To nebude nejvýše n-1 krát, tedy 10-1 krát, tedy devětkrát?

Al1 · 20. 04. 2015 18:56

↑ canicula:

Jev A: Při dvaceti hodech kostkou padne šestka alespoň desetkrát.
Opačný jev A´: Při dvaceti hodech kostkou padne šestka nejvýše devětkrát.

Jev B: Při dvaceti hodech kostkou padne šestka nejvýše desetkrát.
Opačný jev B´: Při dvaceti hodech kostkou padne šestka aspoň jedenáctkrát.

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2015 09:16 — Editoval canicula (19. 04. 2015 09:28)

Pravděpodobnost - Existuje jednodušší způsob?

#2 19. 04. 2015 09:42

Re: Pravděpodobnost - Existuje jednodušší způsob?

#3 19. 04. 2015 10:02

Re: Pravděpodobnost - Existuje jednodušší způsob?

#4 19. 04. 2015 10:09 — Editoval gadgetka (19. 04. 2015 11:02)

Re: Pravděpodobnost - Existuje jednodušší způsob?

#5 19. 04. 2015 10:32

Re: Pravděpodobnost - Existuje jednodušší způsob?

#6 19. 04. 2015 11:39

Re: Pravděpodobnost - Existuje jednodušší způsob?

#7 20. 04. 2015 18:44

Re: Pravděpodobnost - Existuje jednodušší způsob?

#8 20. 04. 2015 18:56

Re: Pravděpodobnost - Existuje jednodušší způsob?

Zápatí