Matematické Fórum

inconnu · 24. 02. 2015 19:35

Zdravím,

potřeboval bych poradit s následujícím důkazem...

Do trojúhelníku, jehož jeden úhel je roven 90° mám vepsat čtverec s jedním vrcholem ležícím na přep. a stranami ležícími na odv. (případ 1). Dále mám to téhož trojúhelníku vepsat čtverec s jednou stranou ležící na přep. a zbývajícími vrcholy na odv. (případ 2).
Mám dokázat, že obsah "prvního" čtverce je větší než obsah "druhého" čtverce.
(Je třeba najít minim. dva důkazy.)

Pracuji na důkazu pomocí stejnolehlosti.

Napadá vás ještě jiný způsob?
Popř.: Napadají vás ještě jiné způsoby?

byk7 · 25. 02. 2015 03:12

Označme x, resp. y, stranu prvního, resp. druhého, čtverce. Pak se dá ukázat, že x=ab/(a+b), y=cv/(c+v), kde c je délka přepony, a, b jsou délky odvěsen a v je délka výšky na přeponu (odvodit vztahy pro x a y lze buď z nějakých obsahů nebo z podobností). Ukázat, že x^2>y^2 je v tomto případě ekvivalentní nerovnosti x>y (pracujeme s kladnými délkami). Platí ab=cv, protože v obou případech jde o vyjádření dvojnásobku obsahu daného trojúhelníku. My tedy chceme dokázat nerovnost ab/(a+b)>cv/(c+v), která je ekvivalentní s c+v>a+b. Platnost této nerovnosti je pak vidět po umocnění na druhou a využití Pythagorovy věty. Tím je tvrzení dokázáno.

inconnu

Jak se vyjádřilo x, na to jsem přišel, ale na ypsilon teda zatím ne. :-(

inconnu · 19. 04. 2015 01:57

byk7 napsal(a):
Platí ab=cv, protože v obou případech jde o vyjádření dvojnásobku obsahu daného trojúhelníku.

Opravdu?
cv je dvojnásobek obsahu trojúhelníku?

byk7 · 19. 04. 2015 02:28

inconnu napsal(a):
Jak se vyjádřilo x, na to jsem přišel, ale na ypsilon teda zatím ne. :-(

Označme vepsaný čtverec KLMN tak, že body K, L leží na přeponě c, bod M leží na přeponě b a bod N leží na přeponě a. Pak z podobností trojúhelníků CAB a CNM plyne rovnost c/v=y/(v-y), odtud vyjádření pro y.

inconnu napsal(a):
Opravdu?
cv je dvojnásobek obsahu trojúhelníku?

Ano. Přece platí $S=\tfrac12av_a=\tfrac12cv_c$ . V našem případě je ovšem $v_a=b,v_c=v$ , odtud už 2S=ab=cv.

inconnu

OK, už chápu celý důkaz!

Děkuji.

inconnu · 21. 04. 2015 01:39

"Druhý" důkaz:

Velikost strany prvního čtverce jsem si označil x, druhého y.

Pro obsah prvního trojúhelníku platí $\frac{ax}{2}+\frac{bx}{2}=\frac{ab}{2}$ , odtud $x=\frac{ab}{a+b}$ .

V druhém trojúhelníku z podobnosti trojúhelníků MBL a ABC (KLMN jsem si označil čtverec) plyne $\frac{b}{a}=\frac{y}{|LB|}$ . Z podobnosti trojúhelníků NMC a ABC plyne $\frac{c}{a}=\frac{y}{a-\sqrt{y^{2}+|LB|^{2}}}$ .

Vyjádřím $|LB|$ z "první" rovnice a dosadím do "druhé" rovnice, pak vyjádřím y...

$y=\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}+ab+b^{2}}$

Chci dokázat $x^{2}>y^{2}$ , což je ekvivalentní s $\frac{x^{2}}{y^{2}}>1$ .

Pro $x^{2}:y^{2}$ platí:
$x^{2}:y^{2}=\ldots =1+\frac{a^{2}b^{2}}{a^{4}+2a^{3}b+2a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4}}$ .

Tento výraz má být větší než jedna, což je zřejmé vzhledem k tomu, že a a b jsou nezáporná a různá od nuly.

Tím je důkaz hotov a já považuji úlohu za vyřešenou.