Matematické Fórum

kucape · 21. 04. 2015 15:51 — Editoval kucape (21. 04. 2015 16:00)

Zdravím,

potřeboval bych ověřit jestli je funkce lichá a periodická ?

Předpis: $f(x) = x+arc\text{cotg}(2x)$

1, Podle vzorce $f(-x) = -f(x)$ ověřuji jestli je funkce lichá.

$(-x)+arc\text{cotg}(2(-x))=-(x+arc\text{cotg}(2x))$

Vsuvka: $(arc\text{cotg}(-2x)=-arc\text{cotg}(2x))$

$-x-arc\text{cotg}(2x)=-(x+arc\text{cotg}(2x))$

Tedy funkce je lichá, je to správně ?

2, Ověření periodičnosti/neperiodičnosti.

Podle: $f(x) = f(x+T)$ , kde je T nenulové kladné celé číslo.

$x+arc\text{cotg}(2x)= (x+T)+arc\text{cotg}(2(x+T))$

$arc\text{cotg}(2x)= T+arc\text{cotg}(2x+2T)$

A tady nevím jak dál.. Napadlo mě použít inverzní funkci k arccotg a využit rovnosti $arccotg(x)=y\Leftrightarrow x=\text{tg}(y)$

$arc\text{cotg}(2x) - arc\text{cotg}(2x+2T)= T\Rightarrow 2x-(2x+2T)= \text{tg} (T)$

Ale nevím jestli je tahle úprava korektní.. Můžete mi poradit jak dál postupovat nebo jaký jiný postup zvolit ?

vanok · 21. 04. 2015 16:10 — Editoval vanok (22. 04. 2015 01:02)

Ahoj ↑ kucape:,
Male pozorovanie.
Periodicita
Staci pozorovat graf danej funkcie , aby si monol uhadnut ze je tvoja funkcia je ostro rastuca...( predpoklad, pouzita najbeznejsia definicia funkcie arccotan)
Tak to dokaz, napr vdaka studiu jej derivacie..... Ale potom tvoja funkcia nemoze byt periodicka, preco?
Edit oprava pravopisu.

kucape · 21. 04. 2015 16:18

↑ vanok:

Potřeboval bych to právě vypočítat, tzn. zjistit to předtím než se podívám na graf.

Tedka netuším jak by to šlo dokázat pomocí derivace, znám jenom ten způsob $f(x) = f(x+T)$ , mohl byste mě ještě trochu více nasměrovat?

vanok · 21. 04. 2015 16:31 — Editoval vanok (22. 04. 2015 01:00)

↑ kucape:,
To co konstatujes na grafe nemusis nikomu povedat.
Ale derivacia tvojej funkcie je vzdy ostro kladna na R....( Co je lahke dokazat) Tak ostro stupajuca na R.... ( znama vlasnost derivacie)
A to je tiez nemozne pre periodicku funkciu....
Vies povedat preco?
Ina vlasnost co sa dokazat, funkcia je negativna po urcitu hodnotu $x_0$ a pre vsetki vadcie cisla kladna.... To riez nie je mozne pre ziadnu periodicku funkciu.
Édit, male doplnky.

kucape · 21. 04. 2015 16:40

↑ vanok:

No tuším že kdyby byla periodická, tak by se měly funkční hodnoty opakovat, to znamená že by měla být pro nějákou množinu záporných čísel kladná a pro jinačí množinu záporných čísel záporná ? stejně tak u kladných čísel ?

Takže by mělo stačí napsat jako důkaz že derivace je vždy kladná, to znamená že funkce pořád roste a tudíž se neopakuje ? případně že pro každé kladné číslo je kladná a pro každé záporné číslo záporná?

vanok · 21. 04. 2015 16:56

↑ kucape:,
Ano to je klucova myslienka dokazu v oboch situaciach ( mozes si vybrat' jednu z nich)
Napr tu ked vyuzijes ze funkcia je ostro rastuca.
Tak pre kazde x mas $f(x) <f(x+T)$ ( perioda= kladne cislo) a to je nemozne pre periodicku funkciu periody T.
Cize ked uz mas klucovu myslienku ten dokaz urobis.... Prave to je pekne v matematike.

kucape · 21. 04. 2015 16:59

↑ vanok:

Dobře, děkuji za pomoc :)

vanok · 22. 04. 2015 01:05

Doplnok,
Ak definujeme tvoju funkciu f, beznym sposobom, tak $f(0)\ne0$ A funkcia nemoze byt neparna.

kucape · 22. 04. 2015 08:05

↑↑ vanok:

Aha, a co to tedy v konecnem dusledku znamena? Moc nerozumim co znamená ze funkce "nemuze byt neparna" ?

jarrro · 22. 04. 2015 09:04

nepárna = lichá

kucape · 22. 04. 2015 09:54 — Editoval kucape (22. 04. 2015 09:55)

Aha, chapu to spravne tedy ze funkce neni ani suda ani licha?

vanok · 22. 04. 2015 10:05

↑ kucape:
Ano (pochopitelne podla beznej definicie)

kucape · 22. 04. 2015 10:09 — Editoval kucape (22. 04. 2015 11:50)

↑ vanok:

Tak to se omlouvam, nevedel jsem ze je jeste jedna podminka, myslel jsem ze staci dokazat ze $f(-x) = -f(x)$ . Az tedka jsem to zjistil.

Dobře tak to by snad uz melo byt vse. Jeste jednou diky.

vanok · 22. 04. 2015 10:19

↑ kucape:
Podrobnejsie.
Ta podmienka, pre x=0, da ze vtedy musi byt f(0)=-f(0), cize f(0)=0, no vsak to neplati pre danu funkciu.

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2015 15:51 — Editoval kucape (21. 04. 2015 16:00)

Lichost, periodicita fce

#2 21. 04. 2015 16:10 — Editoval vanok (22. 04. 2015 01:02)

Re: Lichost, periodicita fce

#3 21. 04. 2015 16:18

Re: Lichost, periodicita fce

#4 21. 04. 2015 16:31 — Editoval vanok (22. 04. 2015 01:00)

Re: Lichost, periodicita fce

#5 21. 04. 2015 16:40

Re: Lichost, periodicita fce

#6 21. 04. 2015 16:56

Re: Lichost, periodicita fce

#7 21. 04. 2015 16:59

Re: Lichost, periodicita fce

#8 22. 04. 2015 01:05

Re: Lichost, periodicita fce

#9 22. 04. 2015 08:05

Re: Lichost, periodicita fce

#10 22. 04. 2015 09:04

Re: Lichost, periodicita fce

#11 22. 04. 2015 09:54 — Editoval kucape (22. 04. 2015 09:55)

Re: Lichost, periodicita fce

#12 22. 04. 2015 10:05

Re: Lichost, periodicita fce

#13 22. 04. 2015 10:09 — Editoval kucape (22. 04. 2015 11:50)

Re: Lichost, periodicita fce

#14 22. 04. 2015 10:19

Re: Lichost, periodicita fce

Zápatí