Matematické Fórum

karelhamsa · 22. 04. 2015 23:25

Dobrý den
Potřeboval bych poradit s následujícím příkladem.

Máme Válcovou nádrž o poloměru r a výšce h
Na dně je otvor o obsahu S
Za jak dlouho vyteče celá nádrž.
Jsem si vědom vzorce pro objemový průtok Qv=S*v=V/t
Jen nevím jak vyřešit problém s nekonstatní rychlostí odtoku protože čím víc vody vyteče tím menší je výška vodního sloupce, která udává rychlost toku. Ep=Ek tedy mgh=m*v*v/2 a tudis v= $\sqrt{2hg}$
Předpokládám, že ideálně vyteče celá nádrž.
Děkuji za Vaši pomoc

zdenek1 · 23. 04. 2015 09:17

↑ karelhamsa:
Označím průřez nádrže $S_0=\pi r^2$ a rychlost klesání hladiny v nádrži $v_0$
Podle rovnice kontinuity platí
$S_0v_0=Sv\ \Rightarrow\ v_0=\frac S{S_0}v$ (1) (v - rychlost vytékající vody z otvoru)
a dále Bernoulliho rovnice pro výšku hladiny $x$ $\frac12\varrho v_0^2+\varrho gx=\frac12\varrho v^2$ (2)
Dosazením (1) do (2) dostaneš $\left(\frac{S}{S_0}\right)^2v^2+2xg=v^2\ \Rightarrow \ v=\sqrt{\frac{2xgS_0^2}{S_0^2-S^2}}$

poznámka: nemůžeš použít $v=\sqrt{2xg}$ , protože to platí, když je výška hladiny stálá, tj. kinetická energie vody na hladině je nulová. To v tomto případě ale neplatí

Nyní: z kinematiky
$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=-v_0=-\frac{S}{S_0}\sqrt{\frac{2xgS_0^2}{S_0^2-S^2}}=-\sqrt{\frac{2gS^2}{S_0^2-S^2}}\cdot \sqrt{x}$
a integrací
$\int\frac{\text{d}x}{\sqrt x}=-\sqrt{\frac{2gS^2}{S_0^2-S^2}}\int\text{d}t$
$2\sqrt x+C=-\sqrt{\frac{2gS^2}{S_0^2-S^2}}t$

protože v čase $t=0$ je $x=h$ , dostáváš $C=-2\sqrt h$
Takže $t=\frac{2(\sqrt h-\sqrt x)}{\sqrt{\frac{2gS^2}{S_0^2-S^2}}}=\sqrt{\frac{2(S_0^2-S^2)}{gS^2}}(\sqrt{h}-\sqrt{x})$

Pro určení doby, za kterou vyteče všechno, stačí dosadit $x=0$

karelhamsa · 05. 05. 2015 00:30

Mockrát děkuji za pomoc
Už je to jasné

frešo · 02. 03. 2017 21:14

↑ zdenek1:

Prosím vás ako by sa to správalo keby obsah povrchu hladiny nebol rovnaký (teda narozdiel od valca, kde je obsah povrchu hladiny konštantný a je to obsah podstavy)? Napríklad u kužeľa.

Matematické Fórum

#1 22. 04. 2015 23:25

Výtok kapaliny z nádrže

#2 23. 04. 2015 09:17

Re: Výtok kapaliny z nádrže

#3 05. 05. 2015 00:30

Re: Výtok kapaliny z nádrže

#4 02. 03. 2017 21:14

Re: Výtok kapaliny z nádrže

Zápatí