Matematické Fórum

Jana95 · 25. 04. 2015 22:32

Určete počet výsledků rovnice v oboru C a jejich absolutní hodnoty (podle výsledků 16 kořenů a absolutní hodnoty 1,3, $\sqrt{5}$

$\sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{16}=3$

Řešit rovnice v oboru komplexníxh čísel umím-kvadratické se záporným diskriminantem, binomickou rovnici typu
$x^{6}+1=0$
V tomto případě jsem ale poněkud zmatená, už jen proto, že v zadnání jsou „normální čísla“, žádné x.
Nemohl by mi někdo prosím alespoň naznačit, jak na to? Přemýšlela jsem udělat z toho tu binomickou, ale opravdu mi není jasné jak
Děkuji

jelena · 26. 04. 2015 08:42

Zdravím,

V tomto případě jsem ale poněkud zmatená, už jen proto, že v zadnání jsou „normální čísla“, žádné x.

také bych tento zápis nepovažovala za rovnici, ale jen za rovnost, tedy nejde splnit požadavek úlohy. Odkud je zadání? Jsou to přijímačkové testy? Pokud možno - odkaz nebo náhled na zadání, případně zda v některé další variantě už není zadání jinak. Děkuji.

Eratosthenes · 26. 04. 2015 10:30

ahoj ↑ Jana95:

těch "16 kořenů" je ve výsledcích zřejmě proto, že čtvrtá odmocnina z komplexního čísla má čtyři hodnoty, takže výraz

$\sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{16}$

představuje celkem šestnáct hodnot. Ovšem jen jedna z nich je rovna třem. A navíc se nejedná o rovnici a i kdyby - rovnice nemá výsledek, ale kořen. Celé zadání je naprosto zmatečné.

vanok · 26. 04. 2015 10:48

Ahoj ↑ Eratosthenes:,
Ale podla matematickych zvyklosti a dohod ( a tu naviac ide o stredoskolsku otazku), zapis $\sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{16}$ representuje jedine cislo 3.
Aby sme mohli hovorit o viacerych hodnotach, je nevyhnutne prejt k rovniciam ako $x^4=1$ a vyjadrit ich korene v C.
Takyto text cvicenia ( mimo kontextu) je ozaj absurdny.

Jana95 · 26. 04. 2015 11:15

Tady jsem pro jistotu vyfotila zadání, i když jsem to, myslím, napsalai původně přesně. Řešili jsme to s několika spolužáky, ale stále nic.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/39638_10.12.jpg

Jana95 · 26. 04. 2015 11:25 — Editoval Jana95 (26. 04. 2015 11:37)

Když to ted takhle vidím, mám pocit, že jsem špatně pochopila zadání. To není rovnice, tudíž by se nemělo počítat s tou trojkou, ale jen s těmi odmocninami.
U $\sqrt[4]{1}$ námvyjde 1,-1,i,-i
U $\sqrt[4]{16}$ je to 2,-2,2i,-2i.
Chápu to tak dobře?

Pak v podstatě s jednotlivými výsledky provedu pravidlo „každý s každým“ a vyjdou mi tyto dvojičky:
1+2 1-2 1+2i 1-2i
-1+2 -1-2 -1+2i -1-2i
i+2 i-2 i+2i i-2i
-i+2 -i-2 -i+2i -2i-i

Což je tedy opravdu 16 výsledků a absolutní hodoty by měly být 1; $\sqrt[]{5}$ ;3
Prosím o kontrolu, zda jsem to opravdu pochopila správně, je to typový příklad k maturitě, tudíž mi na tom záleží...

Jj · 26. 04. 2015 11:41

↑ Jana95:

Dobrý den.

Řekl bych, že ano. Právě jsem se chystal totéž poradit, ale předešla jste mě.

vanok · 26. 04. 2015 12:00

Ano, napisala si vsetki korene ( riesenia) rovnic: $x^4=1$ ,
$x^4=16$
Ale tak ako je spatne napisane, to urcite nemoze tak byt napisane na maturite.
( no tak ci tak, v kazdej knihe sa najde jedna, dve chyby)

Jana95 · 26. 04. 2015 12:47

↑ vanok:
„Ale tak ako je spatne napisane, to urcite nemoze tak byt napisane na maturite.
( no tak ci tak, v kazdej knihe sa najde jedna, dve chyby)“

Tohleto je příklad ze sbírky maturitních příkladů, která se používá u nás na škole- myslím samozřejmě u profilových, ne státních maturit. U maturity to pak probíhá tím stylem, že student si vylosuje číslo kapitoly (v tomto případě 10) a učitel mu na potítko podá list přímo naskenovaný z této sbírky, tak jak to tam je- a počítej. Takže možná se letos bude někdo divit. Ale to jen tak mimochodem...

vanok · 26. 04. 2015 13:55

↑ Jana95:,
Tak ti prajem vela stastia a vela uspechov.

misaH · 26. 04. 2015 22:47

Nevidím na texte zadania nič divné.

vanok · 26. 04. 2015 22:57 — Editoval vanok (26. 04. 2015 23:09)

Ahoj ↑ misaH:,
Problem je v tom ze vyrazy $\sqrt[4]{16}$ a $\sqrt[4]{1}$ su jednoznacne definovane.
Co je tu ↑ Jana95:, nema zmysel.
Aj by niekto povedal ze odpoved moze byt rozna, tak pojdem funkcie by nemohol existovat. A to by bola skoda.

Dobra metoda je prest cez rovnice ako ↑ vanok:( ale cvicenie nema ziadne matematicke pouzitie)

Freedy · 26. 04. 2015 23:38

↑ vanok:
Jak se tedy může stát, že takovýto příklad je "oficiální"?
Naprosto souhlasím, že říct o nějakém součtu dvou čísel, že má 16 různých hodnot, je totální blbost.
Potom bychom se úplně mohli vykašlat na pojmy typu neekvivalentní úprava rovnice viz.
$x=\sqrt{4}$ >>> $x = 2$ --- umocnění je neekvivalentní úprava, tedy, že:
$x^2=4$ >>> $x = \pm 2$ --- přidali jsme si kořen navíc.
Říct, že $\sqrt[n]{1}$ představuje v komplexním oboru n čísel, je celkem odvážné.

vanok · 26. 04. 2015 23:43 — Editoval vanok (27. 04. 2015 00:26)

Ahoj ↑ Freedy:,
Dobre si to analyzoval.
Este naviac mozes povedat, ze z nepravdiveho predpokladu mozes dokazat co len chces.

jelena · 27. 04. 2015 00:14

Zdravím,

úloha je nepodařená i v textové formulaci. Ale asi je postavena na tom, že odmocnina z komplexního čísla se zadefinuje přes řešení rovnice $z^n=a$ a potom se uvádí, že n-tá odmocnina komplexního čísla má n hodnot (a jako speciální případ i odmocnina reálného čísla, pokud se pracuje v komplexním oboru) - viz poznámka na str. 133 pod obrázkem Odkaz.

Jiná věc je, že provedu $\sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{1} + 2\sqrt[4]{1}=3\sqrt[4]{1}$ (a kde je ten kůň? :-)

vanok · 27. 04. 2015 00:30

Pozdravujem ↑ jelena:,
Uplne suhlasim, ide spatnu ulohu. Ako som uz poznamenal vyssie, je velmi malo knih bez chyb.

misaH · 27. 04. 2015 09:38

↑ vanok:

Ale veď sa tam hovorí práve o riešení v C.

Vidím text: v reálnych číslach je súčet 3, ale v komplexných to bude ináč (T.j. Sú tam aj iné riešenia ako v reálnych. A to je pravda, nie? )

A otázka je o tom, ako to vyzerá v komplexných číslach.

vanok · 27. 04. 2015 09:50 — Editoval vanok (27. 04. 2015 10:04)

Ahoj ↑ misaH:,
To co som napisal vyssie plait aj v C.
Ked pises o rieseniach, tam mas na mysli rovnice.
Pochopitelne plati fundamentalna theorema algebry.(http://en.m.wikipedia.org/wiki/Fundamen … of_algebra ) i ked to nic nemeni na veci, ale naviac to nie je stredoskolske ucivo.
Tiez, co sa tyka symbolov $\sqrt[4]{1}$ , $\sqrt[4]{16}$ , tie su jednoznacne definovane.

Freedy · 27. 04. 2015 12:47

↑ misaH:
proč by teda v $\mathbb{R}$ platilo $\sqrt[4]{1}=1$ a ne také $\sqrt[4]{1}=-1$ ? když obě čísla jsou reálná?
Stejně jako $\sqrt{\text{i}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}$ nebo
$\sqrt[4]{\text{i}}=\cos \frac{\pi }{8}+\text{i}\sin \frac{\pi }{8}$
Tyto výsledky jsou vždy JEDNOZNAČNÉ
Nicméně, pokud bychom předpokládali, že $\sqrt{\text{i}}=a$ tak existuje jedno takové a. Pokud předpokládáme $\text{i}=a^2$ tak to už je $a^2-\text{i}=0\Rightarrow (a-\sqrt{\text{i}})(a+\sqrt{\text{i}})$ takže jsme si přidali jeden kořen navíc, jak už se psalo výše