Matematické Fórum

kantouni · 05. 10. 2008 13:12

Potřebovala bych poradit s dvěma příklady:

1) Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě S[-5;4] a dotýká se přímky p: 3x - 4y + 6 = 0

2) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky p: 3x + 4y - 15 = 0, její střed leží na přímce q: x + 2y + 6 = 0 a poloměr je 5.

Saturday · 05. 10. 2008 13:19

Jelikož jsi neuvedla, kam jsi se zatím dostala, tak napíšu návod, jak na to:

1) Zde stačí zavést přímku (označme ji q), která je kolmá na přímku p a prochází bodem S, najít bod (označme M), v jakém přímka q protíná přímku p a spočítat vzdálenost |SM|

Myšlenka řešení: "Pokud chci, aby se mi kružnice dotýkala nějaké přímky, tak musím najít nejmenší vzdálenost zadaného bodu od zadané přímky, což se dělá právě pomocí kolmice na zadanou přímku."

Požadovaná kružnice bude mít tvar: (x + 5)^2 + (y -4 )^2 = |SM|^2

kantouni · 05. 10. 2008 13:45

↑ Saturday:
díky, konečně jsem s tím hnula...ten druhý by se řešil jak?

Saturday · 05. 10. 2008 13:51

↑ kantouni: Druhý příklad je také jednoduchý, stačí udělat rovnoběžku ve vzdálenosti 5 od přímky p (budou dvě řešení, jedna rovnoběžka "nad" p a druhá "pod" p) a kde se tato rovnoběžka protne s přímkou q, tam je střed požadované kružnice.

Mělo by se ověřit, že zadané přímky p a q nejsou rovnoběžné, pak by žádné řešení neexistovalo (pokud by nebyly rovnoběžné a neměli vzdálenost 5 od sebe) - v tomto případě je však vidět, že zadané přímky rovnoběžné nejsou.

kantouni · 05. 10. 2008 14:18

↑ Saturday:
tak s tím druhým si opravdu nevím rady...nešlo by to napsat víc podrobněji?

Saturday · 05. 10. 2008 14:43

$v = \frac{\left|a\cdot m1 + b \cdot m2 + c\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ (obecně vzdálenost bodu od M =[m1, m2] od přímky p: ax + by + c = 0

$5 = \frac{\left|3 \cdot m1 + 4 \cdot m2 - 15 \right|}{5}$

$25 = \left|3 \cdot m1 + 4 \cdot m2 - 15 \right|$

Vyjádříme si souřadnice bodu M (pomocí jedné proměnné), který musí ležet na přímce q:
m1 = x
m2 = -x/2 - 3 (y-ova souradnice bodu M)

$25 = \left|3 \cdot x + 4 \cdot (-x/2 - 3) - 15 \right|$
$25 = \left|3 \cdot x - 2x - 12 - 15 \right|$
$25 = \left|x - 27 \right|$

x = 52 => y = -29
x = 2 => y = -4

Toto jsou tedy dva možné středy kružnic, které vyhovují zadání.

Kružnice pak budou vypadat:

1] (x - 52)^2 + (y + 29)^2 = 5^2
2] (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 5^2

Prosim zkontroluj, že tam nikde není chyba, psal jsem to narychlo.

Maths · 01. 05. 2012 12:57

↑ Saturday:
Můžu se zeptat, proč je ve jmenovateli pouze číslo 5 ... když je to $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ??? :)

Saturday · 01. 05. 2012 13:02

Protože $a=3, b=4$

Maths · 02. 05. 2012 09:12

↑ Saturday:
aha, aha, už chápu! :) dík

Vickey · 27. 04. 2015 23:08 — Editoval Vickey (27. 04. 2015 23:09)

↑ Saturday:

Je podle mě zbytečné počítat nějakou vzdálenost. Stačí spočítat společný bod přímky t (tečna, což je daná přímka, která se kružnice dotýká) a p, která je kolmá na t. Tzn. stačí si spočítat soustavu rovnic o dvou neznámých, tj.
$t: 3x - 4y + 6 = 0$
$p: 4x + 3y + 8 = 0$
$=>$
$t: 9x - 12y + 18 = 0$
$p: 16x + 12y + 32 = 0$
$=>$
$x = -2 => y = 0$

Pak stačí spolu s bodem S dosadit do středové rovnice kružnice a vypočítat poloměr.

Vyjde nám
$\mathrm{(x + 5)}^{2} + \mathrm{(y - 4)}^{2} = 25$