Matematické Fórum

kucape · 29. 04. 2015 21:07

Zdravím,

potřebovach byl poradit s postupem.

Vypočtěte integrací per partes.

$\int_{}^{}\sin ^{3}x\text{ dx}$

Z čeho vytvořit součin ?

předem díky

byk7 · 29. 04. 2015 21:12 — Editoval byk7 (29. 04. 2015 21:29)

Opravdu to má být přes per partes? Substituce by mi totiž přišla mnohem jednodušší.

I když... (volíme $u=\sin^2(x),v'=\sin(x),u'=2\sin(x)\cos(x),v=-\cos(x)$
$I&=\int\sin^3(x)\d x= \\ &=\int\sin^2(x)\cdot\sin(x)\d x= \\ &=-\sin^2(x)\cos(x)-\int-2\cos^2\sin(x)\d x= \\ &=-\sin^2(x)\cos(x)+2\int$1-\sin^2(x)$\sin(x)\d x= \\ &=-\sin^2(x)\cos(x)+2\int$\sin(x)-\sin^3(x)$\d x= \\ &=-\sin^2(x)\cos(x)-2\cos(x)-2I$

Odtud už dopočteme $I$ (snad je to správně).

Raubbbyy · 29. 04. 2015 21:18

1 * (sinx)^3

kucape · 29. 04. 2015 21:27

↑ byk7:

Ano ja vím, ale v zadání je přes per partes

↑ Raubbbyy:

integruju $1$
derivuju $\sin ^{3}x$ ?

byk7 · 29. 04. 2015 21:34

↑ kucape:

Nevím, jestli to, co navrhuje Rauby povede k řešení, ty totiž pak v integrálu dostaneš něco jako $x\cos(x)\sin^2(x)$ , o čemž si nemyslím, že moc pomůže...

Jinak svůj příspěvek jsem editoval, ten výpočet, co tam je, je na per partes založený, takže snad by mohl projít. :-)

kucape · 29. 04. 2015 21:41

↑ byk7:

Ano právě, zkoušel jsem to a vede to k zesložitění.

Takže pokud to v tom vidím správně, tak se použije trik s zacykleným integrálem ?

Nějak takhle (snad to bude srozumitelné)

$\int_{}^{}a\text{ dx} = b\text{ dx} - \int_{}^{}a\text{ dx} \\ 2\int_{}^{}a\text{ dx} = b\text{ dx} \\ \int_{}^{}a\text{ dx} = \frac{ b\text{ dx}}{2}$

Panassino

↑ kucape:

U nás se tomu říká "trik identita"
Na pravé straně si dostal $-2\int_{}^{}\sin ^{3}x\text{ dx}$
Pokud si tedy integroval výraz a vzniklo ti toto $\int_{}^{}\sin ^{3}x\text{ dx}=........................-2\int_{}^{}\sin ^{3}x\text{ dx}$

Pak "přehodíš" výraz zprava doleva, čili $3\int_{}^{}\sin ^{3}x\text{ dx}=$
Takže $\int_{}^{}\sin ^{3}x\text{ dx}=\frac{*}{ 3} + c$ $c\in \mathbb{R}$

$*$ hvězdička znázorňuje pravou stranu, kterou podělíš třema, abys dostal integral ze sin^3(x)

kucape · 29. 04. 2015 21:57 — Editoval kucape (29. 04. 2015 22:05)

↑ Panassino:

Ano ano to jsem myslel. Akorát jsem to nepsal přímo pro tenhle příklad ale obecně, který mě zrovna napadnul.

↑ byk7:

Dekuju za správné nasměrování.

Ještě přikládám výsledek $\int_{}^{}\sin ^{3}x\text{ dx}= \frac{1}{3}\cos ^{3}(x)-\cos (x) + c$

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2015 21:07

Integrál - per partes

#2 29. 04. 2015 21:12 — Editoval byk7 (29. 04. 2015 21:29)

Re: Integrál - per partes

#3 29. 04. 2015 21:18

Re: Integrál - per partes

#4 29. 04. 2015 21:27

Re: Integrál - per partes

#5 29. 04. 2015 21:34

Re: Integrál - per partes

#6 29. 04. 2015 21:41

Re: Integrál - per partes

#7 29. 04. 2015 21:52 — Editoval Panassino (29. 04. 2015 21:55)

Re: Integrál - per partes

#8 29. 04. 2015 21:57 Příspěvek uživatele Al1 byl skryt uživatelem Al1.

#9 29. 04. 2015 21:57 — Editoval kucape (29. 04. 2015 22:05)

Re: Integrál - per partes

Zápatí