Matematické Fórum

kryštof · 27. 04. 2015 19:35

Ahoj, pokouším se tady o takový důkaz: každý vektorový prostor je buď trivialní nebo nekonečný. Můj pokus vypadá asi takhle:
Nechť V je netriviální konečný vektorový prostor nad nějakým tělesem. Potom existuje nenulový vektor $u_{1}\in V$ . Nechť $u_{1}+u_1=u_2$ . $u_2$ je nenulový a různý od $u_1$ . $u_3=u_{2}+u_{2}$ je nenulový, různý od $u_{2}$ a $u_{1}$ . Takto lze sestrojit vektor $u_n=u_{n-1}+u_{n-1}$ pro libovolné n, což je spor s předpokladem o konečnosti V.
O nic nejde, ale byl bych vděčný za pomoc.

Eratosthenes · 27. 04. 2015 21:59

ahoj ↑ kryštof:,

to platí pouze pro vektorové prostory nad nekonečnými tělesy (například nad tělesem všech reálných čísel). Nad konečnými tělesy může být konečný i netriviální prostor. Nad tělesem Z_3 je totiž například

$2u_1+u_1=o$

$2u_1+2u_1=u_1$

atd.

kryštof · 02. 05. 2015 09:27

↑ Eratosthenes:
To je pravda. A můžu se zeptat, jak bys tu větu teda dokázal pro prostor nad nekonečným tělesem?

Formol · 02. 05. 2015 10:43

↑ kryštof:
Pro vektorový prostor nad nekonečným tělesem je tvůj postup v pořádku. ↑ Eratosthenes: tě pouze upozornil na to, že tvoje úvaha neplatí pro vektorový prostor nad konečným tělesem, protože tam tvoje konstrukce dříve či později skončí na nulovém vektoru.

Možná by bylo malinko průhlednější vycházet z toho, že s každým $u_1\in V$ by měl do vektorového prostoru $V$ patřit i vektor $\alpha u_1$ pro každé $\alpha$ z příslušného tělesa. Ale na matematice je hezké mimo jiné i to, že k cíli často nevede jen jedna cesta;-)

Eratosthenes · 02. 05. 2015 10:59

ahoj ↑ kryštof:,

Já bych to možná dokazoval sporem:

Předp. nekonečné těleso, $\vec u\not = \vec o$ *, $c_1\not = c_2$ a dále $c_1\vec u = c_2\vec u$ . Pak je

$(c_1-c_2)\vec u =\vec o$

$\frac {c_1-c_2} {c_1-c_2}\vec u =\frac 1 {c_1-c_2} \vec o$

$\vec u =\vec o$

což je spor s *. Pro každé $c_1\not =c_2$ a nenulový $\vec u$ je tedy $c_1\vec u \not = c_2\vec u$ . A protože dvojic $c_1\not = c_2$ je nekonečně mnoho, je nekonečně mnoho i vektorů.