Matematické Fórum

Kdosi · 03. 05. 2015 19:52

Zdravím,
mám dokázat, že derivace sudé funkce je lichá funkce a naopak. Něco mě napadlo, ale mám obavy, že jsou to absolutní blbosti. Byl bych tedy moc rád, za opravu a lehké nakopnutí :) (všechny limity jsou pro h->0)
1) Derivace liché funkce je sudá funkce.
Pro lichou funkci platí: $-f(x)=f(-x)$ . Tedy (myslím, že má úvaha je průhledná a nepotřebuje moc komentář):
$f'(x)=\lim \dfrac{-f(x+h)-(-f(x))}{-h}=\lim \dfrac{f(-x-h)-f(-x)}{-h}=f'(-x)$ , což je vlastnost sudé funkce.

2) Derivace sudé funkce se funkce lichá.
Pro sudou funkci platí $f(x)=f(-x)$ . Tedy:
$f'(x)=\lim \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim \dfrac{f(-(x+h))-f(-x)}{h}=f'(-x)$ .

Nejsem si tím moc jistý. Podobně jsem nejprve sestrojil pro lichou funkci s $-f(x)=f(-x)$
$-f'(x)=\lim \dfrac{-f(x+h)-(-f(x))}{h}=\lim \dfrac{f(-x-h)-f(-x)}{h}=f'(-x)$
což očividně nefunguje.
Byl bych rád za jakoukoliv připomínku, přeji pěkný večer :)

Bati · 03. 05. 2015 20:43 — Editoval Bati (03. 05. 2015 20:56)

Ahoj,
ve dvojce chybí mínus u h. Před h sice může stát jakékoliv znaménko (pokud děláme oboustrannou limitu $h\to 0$ nebo $-h\to0$ , tak je to jedno, viz věta o limitě složené funkce), ale tohle znaménko musí být stejné v čitateli i jmenovateli, viz definice derivace.

Jde to udělat ještě snadněji, pokud víš, jak se derivuje složená funkce:
$-f'(-x)=(f(-x))'=f'(x),\quad f\;\text{sudá}\\ \quad\quad =-f'(x),\quad f\;\text{lichá}$

Kdosi · 03. 05. 2015 21:25

↑ Bati:
Aha, moc děkuji, až teď mi došlo, že to co jsem napsal u dvojky je úplně něco jiného než to k čemu jsem chtěl dojít.
Mělo by to být tedy nějak takto:
$-f'(x)=\lim \dfrac{f(x+h)-f(x)}{-h}=\lim \dfrac{f(-(x+h))-f(-x)}{-h}=f'(-x)$ ?

Pomocí derivace složené funkce mě to vůbec nenapadlo, je to tak opravdu mnohem snazší.
Moc děkuji za rychlou pomoc :)

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2015 19:52

Derivace sudé fce je lichá fce

#2 03. 05. 2015 20:43 — Editoval Bati (03. 05. 2015 20:56)

Re: Derivace sudé fce je lichá fce

#3 03. 05. 2015 21:25

Re: Derivace sudé fce je lichá fce

Zápatí