Matematické Fórum

Ivana · 23. 03. 2009 19:08

Dobrý večer na foru :-)

Prosím o kontrolu dole ve výsledku se liším ve druhém členu o x .

Nějak jsem se ztratila při zpětném dosazení v substituci. Za odpovědˇděkuji :-)

ttopi · 23. 03. 2009 19:13

Ahoj :-)

Nebudu se vyjadřovat k příkladu, protože takový typ jsme nedělali. Jen se zeptám: Diferenciálním rovnicím se říká diferenciální, protože se v nich vyskytuje derivace. Tohle je obyčejná rovnice, jejíž řešením jsou ta y. Proč to tedy vyjadřovat v tak nechutných tvarech? :-)

Ivana · 23. 03. 2009 19:38

↑ ttopi:Aha já napsala už úpravu .. je to takhle :

... a jde to vůbec takto upravovat ? Díky za pomoc :-)

kaja.marik

ona to neni substituce ale piseme charakteristickou rovnici, ja to nejak nemuyu precist, asi mam blby monitor

je to takto? $y^{(4)}+4y''=0$ ?

Potom je charakteristicka rovnice $a^4+4a^2=0$ a ma koreny $a_{1,2}=0$ a $a_{3,4}=\pm 2i$

protoze nula je dvojnasobny, budou k nemu patrit dve funkce: y_1=x a y_2=1 ... viz napr http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_dif … l_equation

ty funkce y_1 a y_2 musi totiz byt nejenom "nejaka reseni", ale linearne nezavisla.

Ivana · 23. 03. 2009 21:01

↑ kaja.marik:Děkuji , :-) musím si to přebrat a promyslet :-)

kaja.marik

je to jednoduché, pokud je kořen jednoduchý, tak je jedna z funkcí ta exponenciální funkce, v nasem pripade $e^{0x}=1$

pokud je koren nasobny, dostanu dalsi funkce tak, ze nasobim x, potom x^2, potom pripadne x^3 atd, dokud nemam tolik funkci, kolik je nasobnost korene.

takze v nasem pripade nasoxime x-em jednicku a mame $y_{\dots}=x$

Ivana · 23. 03. 2009 21:16

↑ kaja.marik:Zdravím :-)

Mohu poprosit o polopatickém vysvětlení proč se malinko liším ve výsledku ? Děkuji :-)

Ivana · 23. 03. 2009 21:17

↑ kaja.marik:Aha , děkuji :-) jednoduché vysvětlení :-)

Ivana · 23. 03. 2009 21:20

↑ kaja.marik:A ještě jeden zapeklitý oříšek :
(upozorňuji , že tuto problematiku vidím poprvé)

kaja.marik

y' se neda vytykat, da se udelat toto

postup 1.
charakteristicka rovnice je $a^3-3 a^2+2a=0$ a koreny jsou a_1=0, a_2=2, a_3=1
nezazvisla reseni jsou e^{0x}=1, e^{2x} a e^x a
a obecne reseni je $y=C_1+C_2e^x+C_3e^{2x}$

postup 2.
muzu dat substituci y'=z potom y''=z' , y'''=z''
a mam rovnici $z''-3z'+2z=0$
Tu rovnici vyresim, obecne reseni je $z=C_1e^x+C_2e^{2x}$

protoze y'=z, mame $y'=C_1e^x+C_2e^{2x}$
$y=\int C_1e^x+C_2e^{2x} dx=C_1e^x+\frac 12 C_2 e^{2x}+C_3$ kde C_3 je integracni konstanta

POkud provedem preznaceni konstant K_1=C_1, $K_2=\frac 12 C_2$ a $K_3=C_3$
tak mame stejny vysledek jako tim prvnim postupem. Ale bohuzel se to neshoduje s tim co "ma vyjit". Ale jednoduse se ukaze, ze to co "ma vyjit" je spatne, napriklad e^{-2x} resenim neni

Ivana · 24. 03. 2009 13:42

↑ kaja.marik:Děkuji :-)

Ivana · 24. 03. 2009 14:22

↑ kaja.marik:Tedˇna to koukám a to znamená , že ve výsledku uvedeném pod zadáním je opět chyba .

kaja.marik

je tam chyba. Ani $e^{-2x}$ ani $x e^x$ nejsou resenimi rovnice y'''-3y''+2*y'=0

da se to ukazat dosazenim v programu Maxima treba prikazy

Code:

(f(x):=exp(-2*x),
RCE1:diff(f(x),x,3)-3*diff(f(x),x,2)+2*diff(f(x),x),
radcan(RCE1));
(f(x):=x*exp(x),
RCE1:diff(f(x),x,3)-3*diff(f(x),x,2)+2*diff(f(x),x),
radcan(RCE1));
(f(x):=exp(x),
RCE1:diff(f(x),x,3)-3*diff(f(x),x,2)+2*diff(f(x),x),
radcan(RCE1));

kdyz se to nakopiruje treba do online session na http://www.my-tool.com/mathematics/maximaphp/ tak jde videt ze exp(-2x) ani x*exp(x) nejsou resenimi, ale exp(x) ano.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2009 19:08

Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#2 23. 03. 2009 19:13

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#3 23. 03. 2009 19:38

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#4 23. 03. 2009 20:49 — Editoval kaja.marik (23. 03. 2009 20:58)

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#5 23. 03. 2009 21:01

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#6 23. 03. 2009 21:13 — Editoval kaja.marik (23. 03. 2009 21:14)

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#7 23. 03. 2009 21:16

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#8 23. 03. 2009 21:17

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#9 23. 03. 2009 21:20

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#10 23. 03. 2009 22:12 — Editoval kaja.marik (23. 03. 2009 22:12)

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#11 24. 03. 2009 13:42

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#12 24. 03. 2009 14:22

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

#13 24. 03. 2009 16:22 — Editoval kaja.marik (24. 03. 2009 16:23)

Re: Diferenciální rovnice "ntého řádu" - substituce

Code:

Zápatí