Matematické Fórum

perwin · 06. 05. 2015 21:05 — Editoval perwin (06. 05. 2015 21:42)

Zdravím,

bádal jsem (bez použití internetu, abych na to přišel zcela sám), jak vypočítat obsah průniku dvou kružnic.

Nemusíte procházet tento výpočet, jeho správnost/špatnost je vlastně irelevantní, uvádím ho zde pouze jako uvedení k problému. Spíše se prosím podívejte na hlavní otázku na konci příspěvku.

Nákres:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-05/36607_obsah_prunik.jpg

Máme tedy dva libovolné kruhy, první se středem v bodě A1 s poloměrem r1 a druhý v b. A2 s r2. Na začátku známe také vzdálenost s, tedy vzdálenost tvořící šířku průniku (úsečka BD v nákresu).
Výšku průniku EF neznáme, označíme ji ji x. Úsečku s můžeme rozdělit na s1 a s2, kde každá tvoří výšku patřičné kruhové úseče.

Průnik tedy vypočteme jako součet výseče prvního kruhu EA1F s výsečí druhého kruhu EA2F a odečtením součtu obsahů trojúhelníků EA1F s EA2F.
$S_p = S_{v_1} + S_{v_2} - S_{\triangle EA_1F} - S_{\triangle EA_2F}$

Obsahy výsečí jsou
$S_{v_1} = {r_1}^2 \cdot \alpha_1 \\ S_{v_2} = {r_2}^2 \cdot \beta_1$

Obsahy trojúhelníků jsou
$S_{\triangle EA_1F} = \frac{x\cdot (r_1-s_2)}{2} \\ S_{\triangle EA_2F} = \frac{x\cdot (r_2-s_1)}{2}$

Dále víme, že platí
$\frac{x}{2} = \sqrt{{r_1}^{2} - (r_1-s_2)^2} = \sqrt{{r_2}^{2} - (r_2-s_1)^2}$

Upravením rovnosti těchto odmocnin a nahrazením s1 za s - s2 získáme
$s_2 = \frac{s^2 - 2sr_2}{2(s-r_1-r_2)}$

Upravíme rovnici pro obsah průniku
$S_p = {r_1}^2 \cdot \alpha_1 + {r_2}^2 \cdot \beta_1 - \frac{x}{2}\cdot (r_1-s_1+r_2-s_2)$

Známe goniometrické (cyklometrické) vztahy platící pro úhly
$\frac{x}{2} = sin \alpha_1 \cdot r_1 = sin \beta_1 \cdot r_2 \\ \alpha_1 = asin (\frac{\sqrt{2r_1s_2-{s_2}^2}}{r_1}) = acos(\frac{r_1-s_2}{r_1}) \\ \beta_1 = asin (sin \alpha_1\cdot \frac{r_1}{r_2}) = acos(\frac{r_2-s_1}{r_2})$

Vložením těhto vztahů do vzorce pro výpočet obsahu průniku získáme nakonec vzorec
$S_p = {r_1}^2 \cdot acos(\frac{r_1-s_2}{r_1}) + {r_2}^2 \cdot asin(\frac{\sqrt{2r_1s_2-{s_2}^2}}{r_2}) - \sqrt{2r_1s_2-{s_2}^2} \cdot (r_1+r_2-s)$
kde platí výše zmíněný vztah pro s2
$s_2 = \frac{s^2 - 2sr_2}{2(s-r_1-r_2)}$

Tento vzorec tedy lze použít, pokud tedy znám pouze poloměry obou kruhů a vzdálenost s, o kterou se překrývají.

Hlavní otázka:
Jak ale můžu z tohoto vzorce vyjádřit r1 nebo r2? Je to díky cyklometrickým arcus fcím vůbec možné? Tato úprava se mi vůbec nedaří...

Děkuji.

Al1 · 06. 05. 2015 21:23

↑ perwin:

Ahoj, zatím jsem se tvým výpočtem neprokousal, ale pár připomínek

Napsal jsi:
a) Průnik tedy vypočteme jako součet výseče prvního kruhu EA1F s výsečí druhého kruhu EA2F a odečtením součtu obsahů trojúhelníků EA1F s EA2F. Tak oprava
$S_p = S_{v_1} + S_{v_2} - (S_{\triangle EA_1F} +S_{\triangle EA_2F})$

b) Obsahy výsečí jsou
$S_{v_1} = {r_1}^2 \cdot \alpha_1 \\ S_{v_2} = {r_2}^2 \cdot \beta_1$

Oprava: obsah výseče je $S=\frac{\pi r^{2}}{360^\circ }\cdot \varphi$

perwin · 06. 05. 2015 21:34 — Editoval perwin (06. 05. 2015 21:37)

↑ Al1:
Za a) - moje chyba při opisování z papíru, opravil jsem to

Za b) - ano, pokud ale máme zadány úhly v radiánech, můžeme upravit vzorec obsahu takto:
$S = \frac{\pi r^2}{2\pi } \cdot \varphi = \frac{r^2}{2} \cdot \varphi$

Podívej se prosím pozorněji na můj nákres, úhel alfa1 je polovinou úhlu u vrcholu, proto je obsahem výseče poté
$S_{v1} = \frac{{r_1}^2}{2} \cdot 2\alpha_1 = {r_1}^2\cdot \alpha_1$

Al1 · 06. 05. 2015 22:18

↑ perwin:

ok, b) je dobře, nutné zadat jako podmínku, že užíváš obloukovou míru.

misaH · 06. 05. 2015 22:49

↑ perwin:

vypočítat obsah průniku dvou kružnic.

To si asi v úmysle nemal...

perwin · 13. 05. 2015 20:55

Už je to nějaká doba a stále žádné odpovědi na otázku. Jde tedy vůbec nějak z rovnice
$S_p = {r_1}^2 \cdot acos(\frac{r_1-s_2}{r_1}) + {r_2}^2 \cdot asin(\frac{\sqrt{2r_1s_2-{s_2}^2}}{r_2}) - \sqrt{2r_1s_2-{s_2}^2} \cdot (r_1+r_2-s)$
kde
$s_2 = \frac{s^2 - 2sr_2}{2(s-r_1-r_2)}$
vyjádřit r1 nebo r2?

byk7 · 13. 05. 2015 20:57

Řekl bych, že ne.

perwin · 13. 05. 2015 21:29

↑ byk7:
Nějak to přeci jít musí... nebo si mám tyto vzorce odvodit jiným způsobem?

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2015 21:05 — Editoval perwin (06. 05. 2015 21:42)

Vyjádření proměnné z rovnice obsahující cyklometrické fce

#2 06. 05. 2015 21:23

Re: Vyjádření proměnné z rovnice obsahující cyklometrické fce

#3 06. 05. 2015 21:34 — Editoval perwin (06. 05. 2015 21:37)

Re: Vyjádření proměnné z rovnice obsahující cyklometrické fce

#4 06. 05. 2015 22:18

Re: Vyjádření proměnné z rovnice obsahující cyklometrické fce

#5 06. 05. 2015 22:49

Re: Vyjádření proměnné z rovnice obsahující cyklometrické fce

#6 13. 05. 2015 20:55

Re: Vyjádření proměnné z rovnice obsahující cyklometrické fce

#7 13. 05. 2015 20:57

Re: Vyjádření proměnné z rovnice obsahující cyklometrické fce

#8 13. 05. 2015 21:29

Re: Vyjádření proměnné z rovnice obsahující cyklometrické fce

Zápatí