Matematické Fórum

Funkce označme f(x) = x^4 - x^2   ,  g(x) = x^3 - x  .
Zřejmě f(x) = x*g(x) , čehož se později využije.

Je třeba explicite popsat funkci h, splňující podmínky

      h(x) = f(x)   právě když f(x) <= g(x) ,

      h(x) = g(x)   právě když f(x) >= g(x) ,

K  tomu je nutno vyřešit nerovnice f(x) <= g(x)  ,   f(x) >= g(x) .

Potom h = min(f,g) .

Obdobně pro fci  max(f,g).

Ten graf není důležitý, důležité je vyřešit ty nerovnice. Například nerovnici  f(x) <= g(x)  vyřeším takto:

0 <= g(x) - f(x)  = g(x) - x*g(x)  =  g(x) * (1 - x),

Takže f(x) <= g(x)  je ekvivalentní s

(1)   0 <= g(x) * (1 - x),

1.  pro x = 1 platí (1) rovnost, tedy x = 1 do řešení patří.
2.  pro x > 1  vydělím (1) výrazem (1 - x) , který je záporný, takže se otočí znaménko nerovnosti a máme

     0 >= g(x) ,   tj,   0 >= x^3 - x ,

a pokračuji.


Takto by se postupovalo obecně. Naše funkce g  ale má výhodný tvar  g(x) = x^3 - x  = x*(x^2 - 1)  =  x*(x + 1)*(x - 1) ,  takže nerovnici (1) přepíši rovnou do tvaru

(2)  0 <= - x*(x + 1)*(x - 1)^2 ,

Tudíž pro x <> 1 ji mohu zjednodušit vydělením kladným výrazem (x - 1)^2 na

            0 <= - x*(x + 1) ,  tedy  x*(x + 1) <= 0

a dál to jistě zvládneš (látka SŠ). Nezapomeň na bod x = 1, který patří do řešení.

Výsledkem bude číselná množina M , na níž platí  f(x) <= g(x)  a na jejímž doplňku je f(x) > g(x) .

Vlastní definici fce h = min(f,g) již přenechám Tvým úvahám.