Matematické Fórum

KubaP · 08. 05. 2015 00:01 — Editoval KubaP (08. 05. 2015 00:10)

Ahoj, nevím jestli to zařazuji do správného tématu, snad ano :)
Mám dánu úsečku AB o velikosti |AB|=2r její vnitřní bod je X.
Jaký je součet délek půlkružnic nad průměry AX a XB ?
Prosím o postup, vůbec nevím jak na to :) Netuším, jak zjistit poloměry těchto půlkružnic :)

EDIT:
Jde mi hlavně o tento příklad :
Úsečka AB je rozdělena na n dílů o velikosti 2*r(1), 2*r(2),...2*r(n)
Nad každým dílkem je sestrojena půlkružnice. Určete součet délek všech sestrojených půlkružnic.

Předpokládám, že pokud pochopím princip prvního příkladu, dokůžu spočítat i tento :-D

gadgetka

Ahoj, Kubo, zkusím uvažovat. Když bys měl půlkružnici nad celou úsečkou AB, šlo by o Thaletovu (půl)kružnici s poloměrem r (protože |AB| = 2r). Délka této půlkružnice je
$\frac{2\pi r}{2}=\frac{\pi |AB|}{2}$

Když úsečku rozdělíš bodem X, pak půlkružnice nad úsečkou AX bude mít délku:
$\frac{2\pi\frac{|AX|}{2}}{2}=\frac{\pi |AX|}{2}$

a stejně tak délka půlkružnice nad BX bude:
$\frac{2\pi\frac{|BX|}{2}}{2}=\frac{\pi|BX|}{2}$

Máme udělat součet těchto půlkružnic
$\frac{\pi |AX|}{2}+\frac{\pi |BX|}{2}=\frac{\pi(|AX|+|BX|)}{2}=\frac{\pi|AB|}{2}$

Součet délek půlkružnic je tedy roven délce Thaletovy půlkružnice... ;)

Edit:
Když máš uvažovat o rozdělení úsečky AB na n dílů, pak součet všech půlkružnic bude roven opět Thaletově půlkružnici ... zkusíš ten důkaz sám?

Freedy · 08. 05. 2015 02:27

Ahoj,

vzdálenost $|AB|$ je 2r... Bod x tuto vzdálenost rozdělí na dvě části:
$|AX|=x$
$|XB|=2r-x$
Půlkružnice o průměru x má délku $d_1=\frac{\pi x}{2}$
Půlkružnice o průměru (2r - x) má délku $d_2=\frac{\pi (2r-x)}{2}$
Sečtením délek obou půlkružnic dostáváš výslednou délku

KubaP · 08. 05. 2015 10:00

Aha, děkuji oběma :)

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2015 00:01 — Editoval KubaP (08. 05. 2015 00:10)

Součet délek půlkružnic

#2 08. 05. 2015 00:58 — Editoval gadgetka (08. 05. 2015 01:00)

Re: Součet délek půlkružnic

#3 08. 05. 2015 02:27

Re: Součet délek půlkružnic

#4 08. 05. 2015 10:00

Re: Součet délek půlkružnic

Zápatí