Matematické Fórum

KubaP · 08. 05. 2015 10:34 — Editoval KubaP (08. 05. 2015 10:35)

Dobré ráno :)
Mám příklad :
Dokažte, že v trojůhelníku ABC platí: |CD|:|DB| = b:c, kde D je průsečík osy úhlu alfa se stranou BC..
Mělo by to jít vyřešit sinovou větou, znám společnou stranu trojůhelníku ABD a ACD, pak shodný úhel alfa/2 a výšku na stranu a, ale nedokážu to nějak sesmolit dohromady :(

Eratosthenes · 08. 05. 2015 10:57

ahoj ↑ KubaP:,

$|\sphericalangle ADB|=\pi - |\sphericalangle ADC|$

Pomůže to?

Al1 · 08. 05. 2015 11:03

↑ KubaP:

Zdravím,

druhá pomoc

v troj. ABD jsou úhly $\frac{\alpha }{2}$ u vrcholu A, $\beta$ u vrcholu B a $180-\bigg(\frac{\alpha }{2}+\beta\bigg )$ u D.
V troj. ACD máme $\frac{\alpha }{2}$ u vrcholu A , $\bigg(\frac{\alpha }{2}+\beta\bigg )$ u D a $180-(\alpha +\beta)$ u C.

S užitím sinové věty
$\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{|BD|}=\frac{\sin \Bigg(180-\bigg(\frac{\alpha }{2}+\beta\bigg)\Bigg)}{c}$
$\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{|CD|}=\frac{\sin \bigg(\frac{\alpha }{2}+\beta\bigg)}{b}$

Z obou vztahů vyjádři $\sin \frac{\alpha }{2}$ a dej oba vzniklé výrazy do rovnosti.

KubaP · 08. 05. 2015 12:21 — Editoval KubaP (08. 05. 2015 12:57)

Děkuji, ale nechápu proč v trojůh. ACD jsou u vrcholu D a C ty hodnoty? nemělo by to být spíš obráceně?
EDIT:
Už chápu :)

Eratosthenes · 08. 05. 2015 12:53

ahoj ↑ KubaP:

$\sphericalangle ADB=\delta$

$\frac{\sin \frac{\alpha } 2}{|CD|}=\frac{\sin{(\pi-\delta)}} b=\frac{\sin{\delta}} b \Rightarrow$

$\frac{\sin \frac{\alpha } 2}{|CD|}=\frac{\sin{\delta}} b$
$\frac{\sin \frac{\alpha } 2}{|BD|}=\frac{\sin{\delta}} c$

Vydělením těchto dvou rovnic dostaneš přímo dokazované tvrzení.