Matematické Fórum

Nia · 10. 05. 2015 17:09 — Editoval Nia (10. 05. 2015 18:35)

dobrý den/ahoj,

ráda bych Vás poprosila o pomoc s příkladem:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-05/70063_objem.GIF

obrázek je určitě dobře, ale kód v matlabu jsem dělala já (kdyby jsi to chtěl někdo zkusit), takže neručím za správnost

objem $V=\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}1dxdydz$

a nevím, jak postupovat dál, možná bych transformovala do cylidrických (válcových souřadnic):
$x=\varrho . cos(\varphi )$
$y=\varrho . sin(\varphi )$
$z=z$
Jakobián $J=\varrho$

hlavně bych potřebovala pomoc s určením mezí pro fí , pro ró a z, pro fí a z mi něco vyšlo, ale nevím,jestli správně:
$\varphi =[0,2pi]$ ???
$z=[\varrho ^{2},\varrho (cos(\varphi )+sin(\varphi ))]$ ???
$\varrho =[0,\sqrt{2}]$ ??? to je asi špatně

dál nevím, jestli je vůbec správně transformace do cylindrických souřadnic

předem děkuju za pomoc

Jj · 10. 05. 2015 19:30

↑ Nia:

Dobrý den. Řekl bych, že pro cylindrické souřadnice bude

$x = 1/2 + r \cos \varphi$
$y = 1/2 + r \sin \varphi, \quad \varphi \in \langle0,2\pi),\quad r \in \langle 0,\sqrt{2}/2\rangle$

$|J|=r$

$z = z, \quad z \in \langle z_1, z_2\rangle, \quad z_2=x+y, \quad z_1 = x^2+y^2$

$z_2-z_1=1 + r(\cos \varphi+\sin \varphi)-(1/2+r\cos \varphi)^2-(1/2-\sin \varphi)^2=1/2-r^2$

$\Rightarrow V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt2/2}(z_2-z_1)\,r\,dr\,d\varphi$