Matematické Fórum

Jendak · 11. 05. 2015 13:13

Dobrý den, mám příklad:
"Dokažte, že daná nekonečná posloupnost je omezená:"
$a_{n}=\frac{n+1}{n}$
Jak to mám dokázat? Na netu jsem toho moc nenašel. Děkuji předem

holyduke · 11. 05. 2015 13:23

↑ Jendak:
třeba takhle
$\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=...$

Rumburak

↑ Jendak:

Ahoj.

Lze postupovat i přímo z definice pojmu "omezená posloupnost". Tedy: nalézt reálné číslo $K \in (0 , +\infty)$ takové,
aby pro libovolné přirozené $n$ bylo $|a_{n}| < K$ (číslo $K$ tedy nesmí záviset na $n$ ).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 11. 05. 2015 13:27 — Editoval vanok (11. 05. 2015 14:10)

Ahoj ↑ Jendak:,
Ina moznost
Dokaz, ze
$a_{n}=\frac{n+1}{n} \le 2$ pre kazde cele $n \ge 1$ .

Jendak · 11. 05. 2015 13:36

↑ vanok: A kde jsi vzal tu dvojku?

vanok · 11. 05. 2015 13:40

↑ Jendak:,
Pokusne som to zobral

Jendak · 11. 05. 2015 13:41

↑ vanok: To nechápu, jakože si tam můžu dát co chci? Nebo jak to mám dělat pokusem?

Rumburak

↑ Jendak:

Tu dvojku kolega ↑ vanok: , jehož zdravím, mohl zjistit tím, že si uvědomil hodnotu $a_1$ a
skutečnost, že posloupnost je klesající.

Jendak · 11. 05. 2015 13:47

A kdybych měl jinou posloupnost - rostoucí. Třeba:
$a_{n}=\frac{x}{x+1}$
Tak bude nerovnost vypadat:
$a_{n}=\frac{x}{x+1} \ge 0,5$

?

vanok · 11. 05. 2015 13:58

↑ Jendak:,
Popis mozneho myslienkoveho postupu.....
Pokusne, ak by si chcel napr dokazat ze $a_{n}=\frac{n+1}{n}< 1$ dostal by si spor...
A potom by si mohol skusit hladat nieco ine...
Casto pomoze aj graf ( nieco sa zda pravdive na grafe, a ty to skusis dokazat... A ak to plati mas dokaz)
Mozu pomoct aj ine vlasnosti, ako ↑ Rumburak: (pozdravy)

A casto ( na statie) vo cviceni ti urcia cim je ohranicena postupnost.

Rumburak · 11. 05. 2015 14:00

↑ Jendak:

Toto $a_{n}=\frac{x}{x+1}$ není dobrý příklad - při dobré vůli je tím určena posloupnost nikoliv čísel $a_n$ , ale funkcí $a_n$ ,
kde $a_{n}(x)=\frac{x}{x+1}$ (při tom žádná z funkcí $a_n : x \mapsto a_n(x)$ nezávisí na $n$ ) .

vanok · 11. 05. 2015 14:02

↑ Jendak:
Asi si chcel napisat
Dokazte, ze postupnost $a_{n}=\frac{n}{n+1}$ je rastuca.
Tu staci dokazat, ze
$a_{n}=\frac{n}{n+1} \le a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$ pre kazde prirodzene n.

Jendak · 11. 05. 2015 14:08

↑ Rumburak: Sorry, spletl jsem se, místo x mělo být n.

Jde mi o to, že to mám k maturitě. (Na tuhle látku jsem ve škole nebyl a nemám jí ani doplněnou). Ale z předchozích let vím, že v zadání je mimo jiné i příklad:
"Dokažte, že daná nekonečná posloupnost je omezená:". Mění se jen samotné zadání posloupnosti (čísla).
No a já teď nevim, co mám psát a říkat u tabule právě u tohodle příkladu. Nevim jestli mi u maturity uznají, když omezenost poznám z grafu, když chtějí důkaz.

vanok · 11. 05. 2015 14:24

Doplnim ti to ↑ vanok:.
Mozno ti to pomoze ako postupovat ...
Cvicenie: dokazte, ze $a_{n}=\frac{n+1}{n}$
Napr na grafe konstatujes $a_{n}=\frac{n+1}{n} \le 2$ pre kazde cele $n \ge 1$ ( Graf to mozes povazovat za pokus toho co mas dokazat)
Tak teraz to skutocne dokazes.
$a_{n}=\frac{n+1}{n} \le 2$
Sa pise ekvivalentne
$n+1 \le 2n$
A tiez
$1 \le n$

Posledna vlasnost je skutocne pravdiva ( podla predpokladov, n je index postupnosti)
Tak preto aj vsetki jej ekvivalenty su pravdive.
Cize to dokazuje ze $a_{n}=\frac{n+1}{n} \le 2$ pre kazde prirodzene nenulove n.

misaH · 11. 05. 2015 14:29

$\frac{n+1}{n}=1+\frac 1n$

Jendak · 11. 05. 2015 15:05

Děkuji všem. Snad jsem to pochopil :)

Rumburak

↑ Jendak:

Postup pouze podle grafu, myslím, neuznají (určitě ne na jedničku :-) ), ale mohu se i mýlit.

Dokažme třeba omezenost posl. $(a_{n})$ , kde $a_{n} :=(-1)^n \frac{2n}{n+1}$ . Lze postupovat více způsoby, např.:

Označme $b_n := \frac{n}{n+1}$ (tj. $a_n = (-1)^n\cdot 2b_n$ ) a předpokládejme, že $n$ je libovolné přirozené číslo. Potom

(1) $b_n = \frac{(n+1)-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} = 1 + $- \frac{1}{n+1}$$ .

Dále $n+1 > 1 > 0$ , takže $1 > \frac{1}{n+1} > 0$ a tedy také

(2) $-1 < -\frac{1}{n+1} < 0$

Dosadíme-li z (2) do (1), obdržíme

1) $b_n = 1 + $- \frac{1}{n+1}$ < 1 + 0 = 1$ , protože $- \frac{1}{n+1} < 0$

2) $b_n = 1 + $- \frac{1}{n+1}$ > 1 + (-1) = 0$ , protože $- \frac{1}{n+1} > -1$ ,

celkem

(3) $0 < b_n < 1$ .

Tím je dokázáno, že posloupnost $(b_n)$ je omezená zdola (konstantou 0) i shora (konstantou 1).

Z (3) pak snadnou úvahou plyne

$-1 < (-1)^n b_n < 1$ ,
$-2 < (-1)^n\cdot 2b_n < 2$ ,
$-2 < a_n < 2$ , resp. $|a_n| < 2$ .

vanok · 11. 05. 2015 16:35 — Editoval vanok (11. 05. 2015 16:36)

↑ Rumburak:
Ano, urobil si pekny dokaz.
No nezda sa mi ze by ho dokazalo urobit vela stredoskolakov.(a tiez nie vsetci vysokoskolaci, co je skoda, ale co mozeme?)
Zda sa mi ze ak by v texte cvicenia boli uvedene hranice omedzenia, tak by to bolo o mnoho pristupnejsie cvicenie.
Podobne, napr pouzitie pomocnych funkcii, nie je velmi stredoskolske podla mna ( ale mozem sa mylit).

Rumburak

↑ vanok:

Ahoj.

Děkuji za reakci. Mohl jsem samozřejmě vyjít z úpravy

$|a_{n}| =\left|(-1)^n \frac{2n}{n+1}\right| = 2\cdot \frac{n}{n+1} < 2\cdot \frac{n+1}{n+1} = 2\cdot 1 = 2$ ,

ale šlo mi o to ukázat více obratů, které je možno při takovýchto důkazech uplatnit.

S Tvoji skeptickou poznámkou souhlasím. V dobách, kdy jsem studoval na SŠ, bych to také nejspíš nesvedl.

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2015 13:13

Posloupnost - důkaz omezenosti

#2 11. 05. 2015 13:23

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#3 11. 05. 2015 13:26 — Editoval Rumburak (11. 05. 2015 13:31)

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#4 11. 05. 2015 13:27 — Editoval vanok (11. 05. 2015 14:10)

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#5 11. 05. 2015 13:36

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#6 11. 05. 2015 13:40

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#7 11. 05. 2015 13:41

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#8 11. 05. 2015 13:42 — Editoval Rumburak (11. 05. 2015 14:03)

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#9 11. 05. 2015 13:47

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#10 11. 05. 2015 13:58

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#11 11. 05. 2015 14:00

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#12 11. 05. 2015 14:02

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#13 11. 05. 2015 14:08

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#14 11. 05. 2015 14:24

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#15 11. 05. 2015 14:29

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#16 11. 05. 2015 15:05

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#17 11. 05. 2015 15:21 — Editoval Rumburak (11. 05. 2015 15:40)

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#18 11. 05. 2015 16:35 — Editoval vanok (11. 05. 2015 16:36)

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

#19 12. 05. 2015 10:26 — Editoval Rumburak (12. 05. 2015 10:59)

Re: Posloupnost - důkaz omezenosti

Zápatí