Matematické Fórum

Panassino · 11. 05. 2015 22:07

Pomohl by mi někdo, prosím, s tímto?

Predpokládejme, že reálná císla x, y, z vyhovují soustave rovnic
$x+y+z=12$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=54$
Dokažte, že pak platí následující tvrzení: a) Každé z císel xy, yz, zx je alespon 9,
avšak nejvýše 25. b) Nekteré z císel x, y, z je nejvýše 3 a jiné z nich je alespon 5.

byk7 · 11. 05. 2015 22:10

Předpokládej, že jsou všechna čísla menší než 9 a dojdi ke sporu. Podobně ostatní.

Mimochodem, je to nějaké celostátka MO, takže pokud budeš chvíli hledat, můžeš najít kompletní řešení. :-)

Panassino · 11. 05. 2015 22:18

↑ byk7:

Takže předpokládám, že každé z čísel xy,yz,zx je menší než 9.
$(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} + 2(xy+yz+zx)$
Po úpravách tedy dostanu, že $xy +yz+zx=45$
což ale není možné, pokud platí předpoklad, že jsou menší než 9. Stačí takhle?

byk7 · 11. 05. 2015 22:27

Promiň za špatný návod. :-)

$(x+y)^2=(12-z)^2,x^2+y^2=54-z^2$
$xy=\frac{1}{2}$(12-z)^2-\(54-z^2$\)=(z-6)^2+9\ge9$
atp.

Panassino · 11. 05. 2015 22:34

↑ byk7:

Už to vidím, díky moc.

byk7 · 11. 05. 2015 22:38

↑ Panassino: V tom b) pak použij argument, který jsem navrhoval prvně. :-)

Panassino · 11. 05. 2015 22:40

↑ byk7:

Provedu. :-)

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2015 22:07

soustava rovnic

#2 11. 05. 2015 22:10

Re: soustava rovnic

#3 11. 05. 2015 22:18

Re: soustava rovnic

#4 11. 05. 2015 22:27

Re: soustava rovnic

#5 11. 05. 2015 22:34

Re: soustava rovnic

#6 11. 05. 2015 22:38

Re: soustava rovnic

#7 11. 05. 2015 22:40

Re: soustava rovnic

Zápatí