Matematické Fórum

cendulka1234 · 12. 05. 2015 13:24

Ahoj, mám tyto rovnice a netuším vůbec jak je řešit. $x^{3}=-1-i$ a $x^{5}+i=0$ . Děkuji

marnes · 12. 05. 2015 13:39

↑ cendulka1234:
Je potřeba znát problematiku, třeba tady
http://www.ucebnice.krynicky.cz/Matemat … ovnice.pdf

dále když dáš hledat, tak zde najdeš plno podobných příkladů. Tak zkus.

misaH · 12. 05. 2015 13:41

http://www.priklady.eu/sk/Riesene-prikl … isiel.alej

Rumburak

↑ cendulka1234:

Ahoj.

Pravou stranu rovnice si napíšeme v goniometrickém tvaru, tj. v případě první z nich

(1) $-1- \mathrm{i} = \sqrt{2}(\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha)$ , kde $\cos \alpha = \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ , tj. $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ .

V goniometrickém tvaru vyjádříme i neznámou z rovnice, tj. $x = r(\cos \varrho + \mathrm{i} \sin \varrho), r > 0 , \varrho \in \langle 0, 2\pi)$ .

Podle Moivreovy věty bude $x^3 = r^3(\cos 3\varrho + \mathrm{i} \sin \varho 3\varrho)$ . Rovnice $x^3 = -1- \mathrm{i}$ tak dostane "goniometrický" tvar

$r^3(\cos 3\varrho + \mathrm{i} \sin \varho 3\varrho) = \sqrt{2}(\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha)$ ,

odtud porovnánáním levé strany s pravou dostáváme rovnici

(2) $r^3 =\sqrt{2}$ (zajímá nás pouze $r > 0$ )

a goniometrické rovnice $\cos 3\varrho = \cos \alpha, \sin 3\varrho = \sin \alpha$ , tj.

(3) $\cos 3\varrho = \cos \frac{5\pi}{4}, \sin 3\varrho = \sin \frac{5\pi}{4}$ .

Hledáme všechny dvojice $r > 0 , \varrho \in \langle 0, 2\pi)$ splňující soustavu (2), (3).

Stačí tento návod ?