Matematické Fórum

Barunta · 01. 05. 2015 20:41

Dobrý den,

chtěla bych se Vás zeptat, zda jsou toto správné principy pro odvození znaků dělitelnosti a který princip lze použít na odvození znaku dělitelnosti číslem 11 ?

1) podle číslic řádů jednotek: např: 2456 = 2450 + 6 = 245 x 10 + 6 (n = 10 x m + j (jednotky), desítkou je dělitelné číslo 1, 2, 5, 10 z čehož vyplývá, že číslo n je dělitelné 2, 5, 10 právě, když je těmito čísly dělitelné číslo j.

2) podle posledního dvojčíslí: např: 48256 = 48 200 + 56 = 482 x 100 + d, stovkou je dělitelné číslo 4, 20, 25, 50, 100 z čehož vyplývá, že číslo n je dělitelné čísly 4, 20, 25, 50, 100 právě, když je těmito čísly dělitelné jeho poslední dvojčíslí

3) podle ciferného součtu: např: 3456 = 3 x 1000 + 4 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1
= 3 x (999 + 1) + 4 x (99 + 1) + 5 x (9 + 1) + 6
= 3 x 999 + 3 x 1 + 4 x 99 + 4 x 1 + 5 x 9 + 5 x 1 + 6
= 3 x 999 + 4 x 99 + 5 x 9 + 3 + 4 + 5 + 6
= 9 x (3 x 111 + 4 x 11 + 5 x 1) + (3 + 4 + 5 + 6)

A co třeba kritérium pro dělení číslem 8?

Moc díky za odpověď

Siroga · 01. 05. 2015 22:50

↑ Barunta:

jedenacti jsou delitelna prirozena cisla, jejichz rozdil souctu cifer na sudych mistech a lichych mistech je delitelny 11 nebo roven 0
pr. 7920 -> (7+2) - (9+0) = 0, cislo je delitelne 11

co se osmicky tyce, tak tou jsou delitelna prirozena cisla pokud je jejich posledni trojcisli delitelno osmi
pr. 1325465682128 -> 128 : 8 = 16 , cislo je delitelno osmi

Barunta · 02. 05. 2015 00:02

Díky, ale spíše by mě zajímalo, proč tomu tak je, z čeho je odvozené toto kritérium.

Andrejka3 · 02. 05. 2015 00:12

↑ Barunta:
Protože tisíc je dělitelné osmi.

raikou243

↑ Barunta: Trošku důkladněji. Od čísla, jehož dělitelnost zkoumáš, si odečti poslední trojčíslí (abys poslední tři číslice měl nulové).
Např.: $24824-824=24000$ Podle pravidla zkoumáš, jestli to odečítané číslo je nebo není dělitelné osmi. V tomhle případě jo, protože $\frac{824}{8}=103$ .
Pak se podívej na čísla na řádů desetitisíců, statisíců atd. Jednoduše využij toho, že tahle čísla jsou vlastně násobky tisíce a tisíc jde vydělit osmi (poslední tři číslice jsme už prozkoumali na začátku, proto je už nepočítám) :). Z toho (doufám) vyplývá, že pokud jde poslední trojčíslí čísla vydělit osmi beze zbytku, půjde vydělit osmi beze zbytku i celé číslo.

Možná poněkud nematematické, ale snad to trošku chápeš.

Barunta · 11. 05. 2015 21:04

↑ raikou243: díky ;) Já tohle pravidlo chápu i pro dělitele 2, 5, 10, 4, 20, 25, ... ale s tím rozdílem, že se buď jedná o jednotky nebo o poslední dvojčíslí. Jinak postup je totožný, akorát u jednotek místo 100 je 10 a u posledního dvojčíslí je 100. Pokud je toto dostatečný postup k odhalení principu kritérií dělitelnosti, tak jsem ráda, jelikož na internetu jsem našla hrozný šílenosti ohledně tohoto tématu ...

Andrejka3 · 12. 05. 2015 15:21

↑ Barunta:
My si je odvozovali pomocí základních vlasntostí kongruencí. Ty nejsou tak hrozné.

Barunta · 15. 05. 2015 17:19

↑ Andrejka3: a to spočívá v čem, prosím?

Andrejka3

↑ Barunta:
Tak třeba dělitelnost sedmičkou.
Celá čísla mají po dělení sedmi buď zbytek 0 nebo 1 nebo 2 nebo ... nebo 6. Takže si to můžeš představit, že si nachystáš sedm košů a podle zbytku nahážeš každé číslo do správného koše.

Trik je tento: vybereš si dva koše, třeba koš s čísly se zbytkem 2 a koš se zbytky 3. Z obou vytáhneš po jednom číslu. Když je sečteš, vyjde ti číslo se zbytkem 5. A to nezávisle na tom, která konkrétní čísla z těch dvou košů sis vytáhla. Například: 9 a 17: $9+17=26 = 3\cdot 7+5$ . Vyšel zbytek 5.

Totéž platí i pro násobení! číslo se zbytkem 2 krát číslo se zbytkem 3 dá číslo se zbytkem 6.

Teď, chceme odvodit kriterium pro dělitelnost sedmi. Tak můžeme zjistit jaké zbytky dává 10, 100, 1000, atd.
$10\equiv_73$ ... 10 ma zbytek 3 po deleni sedmi.
$100=10\cdot10\equiv_73\cdot3 =9\equiv_72$ ... 100 má zbytek 2 po dělení sedmi. v druhém kroku jsem desítky nahradila menším číslem se stejným zbytkem, aby se mi lépe počítalo. atd...
$1000=10\cdot 100\equiv_7 3\cdot 2=6\equiv_7-1$ ... Někdy to skončí, někdy se musím dostat na zbytek který už byl a zacyklí se to.
$10000=10\cdot 1000\equiv_73\cdot (-1)=-3$
$10^5=10\cdot10^4\equiv_73\cdot(-3)=-9\equiv_7-2$
$10^6=10\cdot 10^5\equiv_7 3\cdot (-2)=-6\equiv_71$ .
Teď už bych dostala trojku a jelo by to pořád dokola.

Číslo je dělitelné sedmi, právě když má zbytek 0 po dělení.
$9\:524\:719=9\cdot 10^6+5\cdot 10^5+2\cdot 10^4+4\cdot 10^3+7\cdot 10^2+1\cdot 10+9$
$\equiv_79\cdot 1+5\cdot(-2)+2\cdot (-3)+4\cdot (-1)+7\cdot 2+1\cdot(3) +9=$
$=9-10-6-4+14+3+9=15\equiv_71$ , takže to číslo dává zbytek 1 při dělení sedmičkou.

Kriterium, odporné, by znělo asi takhle:
vem jednotky, přičti tři krát desítky, přičti dvakrát stovky, odečti třikrát tisíce atd.... a výsledek je dělitelný sedmi, právě když původní číslo je dělitelné sedmi.

Snad tam nemám chybu. Chtěla jsem jen demonstrovat možný postup vytvoření kriteria, i když zrovna tohle se nevyplatí používat.
edit: oprava chyb