Matematické Fórum

TarderOrtex

Zdravím Vás,
mohli bych Vás poprosit o kontrolu mého postupu při vyšetřování konvergence řady?
Jedná se o následující
$\sum_{n=1}^\infty ((-1)^n + 1) \frac{ n}{5^{n+1}}$
mým cílem je vyšetřit to pomocí Leibnizova kritéria, tudíž nejdřív ukážu, že
$\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{5^{n+1}}$ je nula, což je na první pohled vidět, že je :-)
Dále pomocí podílového kritéria zjistím, zda tedy $\frac{2n}{5^{n+1}}$ konverguje.
po úpravách se dostanu k

$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{10n}$ a to je 1/5.

Z toho tedy plyne, že řada konverguje.

Je to tak, nebo jsem někde udělal chybu?

Edit: nebo je ještě potřeba nějak ukázat, že je ta funkce klesající, např pomocí derivace?

Rumburak · 13. 05. 2015 14:52

↑ TarderOrtex:
Ahoj.

Leibnizovo ktiterium se zde nehodí (prostuduj si jeho předpoklady pozorněji).

Jak jsi správně usoudil, posloupnost, z níž je daná řada sestavena, je vybranou posloupností z

(1) $$\frac{2n}{5^{n+1}}$$

(pro $n$ sudé), z níž sestavená řada je konvergentní podle d'Alebertova podílového kriteria.
Proto i původní řada je konvergentní.

TarderOrtex

Jo, právě jsem to chtěl upravit, protože mi to došlo, má to hodnoty 2 a nebo nula, kdežto na Leibnitze je třeba -1 1 -1 1 :-)

Tudíž ještě jednou, pro mou kontrolu, pro n lichá mi vznikne nula, tudíž mě zajímají jen n sudá, pro ně dostanu posloupnost (1) z tvého příspěvku, z té pomocí podílového kritéria dostanu ten můj výsledek 1/5. Říkám to teď správně?

Rumburak · 13. 05. 2015 15:01

↑ TarderOrtex:
Ano.

TarderOrtex · 13. 05. 2015 15:03

Děkuji mockrát za pomoc. Takže to uzavírám s tím, že řada konverguje.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2015 13:55 — Editoval TarderOrtex (13. 05. 2015 14:09)

konvergence řady

#2 13. 05. 2015 14:52

Re: konvergence řady

#3 13. 05. 2015 14:56 — Editoval TarderOrtex (13. 05. 2015 14:56)

Re: konvergence řady

#4 13. 05. 2015 15:01

Re: konvergence řady

#5 13. 05. 2015 15:03

Re: konvergence řady

Zápatí