Matematické Fórum

Theon · 13. 05. 2015 13:10

Z učebnice (snad) chápu úvahu, ke které se dojde nakonec k větě o substituci:
$\int{f(g(x))\cdot g'(x) dx} = F(g(x)) + C$
Stejně tak nejspíš chápu, jak integrovat tím, že si zavedu nějakou proměnnou $t$ , například u $\int{(3x-4)^7 dx}$ - kdy bych si zavedl, že $t=g(x)=(3x-4)$ , potom $g'(x) = 3$ , i když tady se už trochu ztrácím u $\frac{dt}{dx} = 3$ (odkud se vzal tenhle zlomek?), z čehož už můžu do toho původního výrazu dosadit že $\int{t^7 dt \cdot \frac{1}{3}} = \frac{t^8}{8} \cdot \frac{1}{3}$ a pak akorát dosadím zpátky: $\frac{1}{24} (3x-4)^8$ .

Vůbec ale nevidím, kde a jak jsem tu větu využil, hádám že odpověď bude přinejmenším podobná tomu, odkud se vzal $\frac{dt}{dx}$ :)

Díky!

holyduke · 13. 05. 2015 13:24

↑ Theon:
Ahoj,
plati, ze pokud se rovnaji funkce (v tvem pripade $t=3x-4$ ), tak se rovnaji i jejich derivace

Takze zderivujes obe strany podle x. Prava strana je jasna a na leve strane, kdyz derivujes neznamou t podle x, tak to napises jako $\frac{dt}{dx}$

Theon · 13. 05. 2015 13:30

Ahá, jasný, díky! :) A jak se tam uplatní ta věta?

Panassino

↑ Theon:

Slovy, pokud máš integrál $\int{f(g(x))\cdot g'(x) dx} = F(g(x)) + C$ tak to vlastně znamená, že ten výraz (integrand) je složen z funkce a z její derivace.

Např.: $\int \frac{tg(x)}{cos^{2}x}dx=\int tg(x)\cdot \frac{1}{cos^{2}x}dx$
$S: t=tg(x)$
$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{cos^2{x}}\Leftrightarrow dt=\frac{1}{cos^2{x}}dx$
Takze po substituci : $\int tdt$ a to už je snadné.

Samozřejmě pokaždé to nemusí být takhle průhledné, takže je potřeba si upravit integrand do nejake podoby, jako například, jak si uvedl nahoře, vytknout 1/3, aby si "dovnitř" dostal 3.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2015 13:10

Jak se využívá věty o substituci při integrování?

#2 13. 05. 2015 13:24

Re: Jak se využívá věty o substituci při integrování?

#3 13. 05. 2015 13:30

Re: Jak se využívá věty o substituci při integrování?

#4 13. 05. 2015 14:08 — Editoval Panassino (13. 05. 2015 14:13)

Re: Jak se využívá věty o substituci při integrování?

Zápatí