Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj.
Ve způsobu hledání všech celých algebraických čísel v kvadratickém tělese ze skript jsem narazila na následující problém.

Mějme kvadratické těleso $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ a $\alpha\in \mathbb{Q}(\sqrt{m})\setminus\mathbb{Q}$ . Nechť $p\in \mathbb{Q}[x]$ je minimální polynom $\alpha$ (stupně 2) s jednotkovým koeficientem u nejvyšší mocniny.
Je pravda, že pokud $\alpha$ je kořenem $f\in \mathbb{Z}[x]$ a koeficient $f$ u nejvyšší mocniny je 1, pak $p\in\mathbb{Z}[x]$ ?

Z polynomů si toho moc nepamatuju a mé pokusy to dokázat/vyvrátit nikam nevedly. Prosím o radu.

------
edit: jinak řečeno, musí mít normovaný/monický minimální polynom celého algebraického čísla celočíselné koeficienty?

check_drummer · 13. 05. 2015 20:02

↑ Andrejka3:
Ahoj, a není to právě to co odlišuje prvky $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ a celé algebraické číslo?
Co např. číslo $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a "jeho" polynom $x^2-\frac{1}{2}$ . Monický polynom je daným číslem dle mého jednozančně určen, takže když má neceločíselné koeficienty, tak nemůže existovat jiný, celočíselný (a monický).

Andrejka3

není to právě to co odlišuje prvky $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ a celé algebraické číslo?

Tak $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ a minimální polynom je $x^2-2\in\mathbb{Z}[x]$ , takže $\sqrt{2}$ je celé algebraické.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ a "jeho" polynom $x^2-\frac{1}{2}$ . Monický polynom je daným číslem dle mého jednozančně určen, takže když má neceločíselné koeficienty, tak nemůže existovat jiný, celočíselný (a monický).

Takže ať násobím $x^2-\frac{1}{2}$ jakýmkoliv polynomem z $\mathbb{Q}[x]$ s jedničkou u nejvyšší mocniny (to je doufám totéž co být monický), tak nemůžu dostat polynom s celočíselnými koeficienty? Proč ne?

Takže i obecně, když $p,q\in\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$ a mají jedničku u nejvyšší mocniny, tak $p\cdot q\notin \mathbb{Z}[x]$ ?

vanok · 13. 05. 2015 21:24

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Co si pamatam
Cely minimalny polynom je v $\mathbb{Z}[x]$
Priklad
$x^2-2\in\mathbb{Z}[x]$
Take polynomy tvoria jeden okruh.
Minimalny polynom je v
$\mathbb{Q}[x]$
Priklad
$x^2-2\in\mathbb{Q}[x]$ .
Take polynomy tvoria teleso.

O zvysku tvojej otazky porozmyslam.

check_drummer · 13. 05. 2015 21:41

↑ Andrejka3:
Aha, on ten monický v definici celého čísla nemusí být ireducibilní... (?) Zamyslím se nad tím posledním bodem.

Andrejka3 · 13. 05. 2015 21:57

↑ check_drummer:
Tak tak. V definici zmínku o ireducibilitě nemám.

↑ vanok:
Díky, ano. Celá alg čísla tvoří okruh a Alg čísla těleso. Jestli je to ekvivalentní tomu, co jsi psal...(což teď hned nenahlédnu)

check_drummer · 14. 05. 2015 00:09

↑ Andrejka3:
Mělo by to být ekvivalentní, viz deinice na wiki.
Ale dokázat to by bylo jistě zajímavé.

check_drummer

↑ Andrejka3:
Podle Gaussova lemmatu, je-li polynom p z Q[x] reducibilní v Q[x], pak je reducibilní i v Z[x]. Pokud je tedy p monický polynom (ze Z[x]) příslušný číslu $\alpha$ a je reducibilní v Q[x], pak je reducibilní i v Z[x] a tedy je p=q.r - a snadno lze ukázat, že q,r jsou opět monické a že $\alpha$ je kořenem jednoho z nich (búno nechť je to q). Na q aplikujeme stejný postup až získáme monický ireducibilní polynom s koeficienty v Z[x] - a monický ireducibilní polynom je určen jednoznačně (k $\alpha$ ) - a tedy $\alpha$ nemůže být kořenem monického ireducibilního polynomu z $\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$ .

To ovšem neodpovídá na otázku

Andrejka3 napsal(a):
Takže i obecně, když $p,q\in\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$ a mají jedničku u nejvyšší mocniny, tak $p\cdot q\notin \mathbb{Z}[x]$ ?

ale odpovídá to na otázku ve Tvém prvním příspěvku.

check_drummer · 14. 05. 2015 01:16

Ještě upozorním, že $\alpha$ celý algebraický samozřejmě může být kořenem monického polynomu z $\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$ . Např. $\sqrt{2}$ je kořenem $(x^2-2).(x-\frac13)$ . Ovšem takový polynom bude nutně reducibilní.

check_drummer · 14. 05. 2015 01:25

Andrejka3 napsal(a):
Takže i obecně, když $p,q\in\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$ a mají jedničku u nejvyšší mocniny, tak $p\cdot q\notin \mathbb{Z}[x]$ ?

To bude plynout opět z Gaussova lemmatu: Postupujme sporem a rozložíme u(=p.q) ze Z[x] na součin ireducibilních monických polynomů $u_i$ ze Z[x], které jsou tedy ireducibilní i v Q[x] - a proto budou p,q rovny součinům některých $u_i$ - což je spor s $p,q\in\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$ .

Tento postup však předpokládá, že faktorizace monických polynomů (na ireducibilní polynomy) je v Z[x] jednoznačná, což si teď nejsem jist, zda platí.

Andrejka3 · 14. 05. 2015 09:57

↑ check_drummer:
Díky! To mi úplně stačí.

vanok · 14. 05. 2015 10:32 — Editoval vanok (14. 05. 2015 10:34)

↑ Andrejka3:
Este doplnujuca poznamka,(kvadraticke rozsirenia =extensions quadratiques)
V $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ cele algebricke cislo je formy $x=a+b \sqrt m$ ak $m = 0,2,3 (mod 4)$
A ak $m= 1( mod 4), x=a+b. \frac {1+\sqrt m} 2$ je algebricke celé cislo.
Napr. $\frac {1+\sqrt 5}2$ je cele algebricke v $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$
Je jeden koren jeho mnimalneho polynomu je $x^2-x-1=0$ .