Matematické Fórum

KubaP · 11. 05. 2015 15:46

Ahoj, poradíte s tímto příkladem? :)

Je dán čtyřúhelník ABCD úhly |DAB| = ALFA a |ABC| = BETA a stranami |BC| = |CD| = |AD| = a.
Dokažte, že platí sin (alfa) = sin (beta) + sin (gama)
kde GAMA je odchylka přímek AB a CD.

byk7 · 11. 05. 2015 19:37

Nechci používat $\gamma$ pro odchylku přímek $AB$ a $CD$ , takže jsem si ji označil $\varphi$ . Označme $P$ průsečík přímek $AB$ a $CD$ a $|CP|=x$ . Pak ze sinové věty pro trojúhelník $APD$ plyne
$\frac{a+x}{\sin(\alpha)}=\frac{a}{\sin(\varphi)}$
a pro trojúhelník $BPC$ platí
$\frac{x}{\sin(\pi-\beta)}=\frac{a}{\sin(\varphi)}$
teď už to jen musíš dát dohromady.

Nakonec předpokládejme, že $AB\parallel CD$ (bod $P$ pak neexistuje) a odchylka těchto přímek je nulová. Pak ale tvrzení platí triviálně, protože je $ABCD$ rovnoramenný lichoběžník a $\alpha=\beta$ .

KubaP · 14. 05. 2015 12:34

Nějak mi to nevychází..
Pokud si spočítám sin(alfa); sin(fí) a pak sin(pí-beta) upravím na -sin(beta) tak při sečtení sin(fí)+(-sin(beta)) tak mi vyjde, že se to rovná (sin(alfa)*(a-x))/(a+x) ... tím pádem se (a-x) a (a+x) nepokrátí a nevyjde mi, že sin(fí)+sin(beta) = sin(alfa)
Kde dělám chybu?

byk7 · 14. 05. 2015 12:51

1) $\sin(\pi-\beta)=\sin(\beta)$
2) Tak se zkus zbavit $x$ .

KubaP · 14. 05. 2015 12:55

Aha, cos(pí) je vlastně záporný :) díky :)
A jak bych se zbavil x?

byk7 · 14. 05. 2015 13:06

No, máš ho ve dvou rovnicích. Jak ze dvou rovnic uděláš jednu a přitom se jedné neznáme zbavíš?

KubaP · 14. 05. 2015 13:19

Aha, to pak ano, že z jedné rovnice vyjádřím a dosadím do druhé..
Já myslel z výsledné rovnice (sin(alfa)*(a-x)) / a+x jak se zbavím x

byk7 · 14. 05. 2015 13:53

↑ KubaP:

Takže je jasné, jak to dokončit?

KubaP · 14. 05. 2015 14:41

Ano, děkuju :) Jasné to bylo už předtím, jen mi vycházelo záporný sin(beta) a tím pádem špatný výsledek :)
Každopádně pokud by vyšlo (a-x)/(a+x) tak už s tím asi nic neudělám :)

byk7 · 19. 05. 2015 17:46

Zapomněl jsem na dva degenerované případy, když je to čtverec a kosočtverec. Na řešení se tím ale nic nemění. :-)

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2015 15:46

Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

#2 11. 05. 2015 19:37

Re: Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

#3 14. 05. 2015 12:34

Re: Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

#4 14. 05. 2015 12:51

Re: Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

#5 14. 05. 2015 12:55

Re: Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

#6 14. 05. 2015 13:06

Re: Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

#7 14. 05. 2015 13:19

Re: Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

#8 14. 05. 2015 13:53

Re: Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

#9 14. 05. 2015 14:41

Re: Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

#10 19. 05. 2015 17:46

Re: Důkaz goniometrické rovnice ve čtyřúhelníku

Zápatí