Matematické Fórum

abkely · 16. 05. 2015 17:24

Byl by někdo tak hodný a pomohl mi s tímto příkladem? Podle výsledku by měla tato řada konvergovat, ale mě pořád vychází že diverguje. Netuším, kde dělám chybu. Děkuji moc. :)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-05/89757_1.jpg

jelena · 16. 05. 2015 17:38

Zdravím,

v některých dalších tématech jsi psala postup (nebo alespoň jeho část), dodržuj to, prosím, viz pravidlo č.3 Děkuji.

Freedy · 16. 05. 2015 18:13

Ahoj,

předpokládejme, že členy $a_n=\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}$ představují nezápornou nerostoucí funkci $f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ . Pokud konverguje integrál $\int_{0}^{\infty }\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}\text{dx}$ poté konverguje i řada $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}$ .
Nyní vypočteme integrál $\int_{0}^{\infty }\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}\text{dx}$
Položíme
$u=x$ >>> $u'=1$
$v'=\mathrm{e}^{-x}$ >>> $v=-\mathrm{e}^{-x}$ tedy
$\int_{0}^{\infty }\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}\text{dx}=[-\mathrm{e}^{-x}(x+1)]^{\infty }_0$
a tedy > $\lim_{x\to\infty }[-\mathrm{e}^{-x}(x+1)]-(-1)=1$ === integrál konverguje.

Pokud chceme vyčíslit danou řadu, jednoduše si ji zapíšeme jako nekonečnou řadu:
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}=\frac{1}{\text{e}}+\frac{2}{\text{e}^2}+\frac{3}{\mathrm{e}^{3}}+....$
Vynásobíme obě strany rovnice číslem e a dostaneme:
$\text{e}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}=1+\frac{2}{\text{e}}+\frac{3}{\mathrm{e}^{2}}+\frac{4}{\mathrm{e}^{3}}....$
Nyní odečteme od obou stran rovnice $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}$ a máme:
$\text{e}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}=\bigg( 1+\frac{2}{\text{e}}+\frac{3}{\mathrm{e}^{2}}+\frac{4}{\mathrm{e}^{3}}+...\bigg)-\bigg( \frac{1}{\text{e}}+\frac{2}{\mathrm{e}^{2}}+\frac{3}{\mathrm{e}^{3}}+...\bigg)$
což je:
$\text{e}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}= 1+\frac{1}{\text{e}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{3}}+...$
na pravé straně je nekonečná geometrická řada s kvocientem 1/e tedy a prvním členem 1, její součet je tedy:
$\sum_{n=1}^{\infty }\bigg( \frac{1}{\text{e}}\bigg)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{\text{e}}}=\frac{\text{e}}{\text{e}-1}$
Dosazením do rovnosti výše, dostáváme:
$\text{e}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}= \frac{\text{e}}{\text{e}-1}$
a tedy:
$(\text{e}-1)\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}= \frac{\text{e}}{\text{e}-1}$
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n}}= \frac{\text{e}}{(\text{e}-1)^2}$

abkely · 16. 05. 2015 22:54

↑ Freedy:

Děkuji moc za postup. :) Akorát mi není jasná jedna věc. A to konkrétně.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-05/09284_1.gif

V tomto kroku mohu začít dosazovat. A tedy: $[- e ^{-\infty } \cdot (\infty +1)] - [1] =$

to mi přeci nevyjde, že to konverguje k 1, ne? :)

Freedy · 16. 05. 2015 23:12 — Editoval Freedy (16. 05. 2015 23:23)

Ahoj,

proč myslíš? :)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelena · 16. 05. 2015 23:35

↑ Freedy:

Zdravím,

Freedy napsal(a):
$\int_{0}^{\infty }\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}\text{dx}=[-\mathrm{e}^{-x}(x+1)]^{\infty }_0$

o "problému" tohoto zápisu již jsme spolu hovořili - tak? A o podpoře vlastní aktivity - již bezpočet krát :-) - také tak? Děkuji.

Freedy · 17. 05. 2015 00:02 — Editoval Freedy (17. 05. 2015 13:50)

Pardon :)

$\int_{0}^{\infty }\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}\text{dx}=\lim_{B\to\infty }\bigg[-\frac{x+1}{\mathrm{e}^{x}}\bigg]^{B}_0=\lim_{B\to\infty }\bigg(-\frac{B+1}{\mathrm{e}^{B}}\bigg)-\bigg(-\frac{0+1}{\mathrm{e}^{0}}\bigg)=0-(-1) = 1$

jelena · 17. 05. 2015 12:59

↑ Freedy:

:-) v pořádku (teď ještě upřesnění, v čem tedy chybovala kolegyně ↑ abkely:, snad doplní).

abkely · 17. 05. 2015 13:27

↑ Freedy:

Díky moc. Už mi to vychází. :)

Bati · 17. 05. 2015 13:35

Poznámka:
Pokud nás zajímá jen konvergence integrálu, stačí jednoduše odhadnout
$\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x}\,\mathrm{d}x\leq\int_0^{\infty}e^{-\frac{x}2}\,\mathrm{d}x<\infty$

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2015 17:24

Integrální kritérium

#2 16. 05. 2015 17:38

Re: Integrální kritérium

#3 16. 05. 2015 18:13

Re: Integrální kritérium

#4 16. 05. 2015 22:54

Re: Integrální kritérium

#5 16. 05. 2015 23:12 — Editoval Freedy (16. 05. 2015 23:23)

Re: Integrální kritérium

abkely napsal(a):

#6 16. 05. 2015 23:35

Re: Integrální kritérium

Freedy napsal(a):

#7 17. 05. 2015 00:02 — Editoval Freedy (17. 05. 2015 13:50)

Re: Integrální kritérium

#8 17. 05. 2015 12:59

Re: Integrální kritérium

#9 17. 05. 2015 13:27

Re: Integrální kritérium

#10 17. 05. 2015 13:35

Re: Integrální kritérium

Zápatí