Matematické Fórum

bert.blader · 19. 05. 2015 15:23

Zdravím, najde se tu někdo, kdo mi poradí, jak na tento důkaz?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-05/41762_dukaz2.png

Rumburak · 19. 05. 2015 15:51

↑ bert.blader:

Ahoj.

Vzhledem k tomu, že číslo 7 je prvočíslo a není dělitelem čísla 30 , můžeme dokazovaný výrok ekvivalentně zjednodušit na

$\forall n\in N : 30|(7^{4n} - 1)$

(tím, že výraz $(7^{4n+1} - 7)$ vydělíme 7-mi).

Zkus pokračovat indukcí podle $n$ .

bert.blader · 19. 05. 2015 17:06

↑ Rumburak:

Indukcí jsem zjistil, že pro n=1 to funguje.
Pak jsem zkusil dosadit n+1, tím se dostal tomuto:
$7^{4n+4}-1$

To jsem si rozepsal takto:
$7^{4n}\cdot 7^{4}-1$

Potom jsem dospěl k takovému závěru:
$7^{4n}\cdot (2400+1)-1 = 2400\cdot 7^{4n}+7^{4n}-1$

Jelikož je 2400 dělitelné 30, tak člen $2400\cdot 7^{4n}$ je dělitelný 30. Člen $7^{4n}-1$ se vykytuje v zadání (po vydělení sedmi), takže předpokládám, že je také dělitelný 30. A tím bych důkaz ukončil.

Mám to takhle správně a dokázal jsem tím, že je výraz dělitelný 30?

Rumburak

↑ bert.blader:

Snad to myslíš dobře a jen se Ti nepovedlo Tvůj důkaz jasně uspořádat, ale i to je důležité. Pokusím se logiku
důkazu poněkud shrnout.

Dokazujeme, če číslo $a_n := 7^{4n}-1$ je pro každé přirozené číslo $n$ dělitelné 30-ti. Tak třeba indukcí.
K přirozeným číslům budeme zde řadit i nulu, tím se důkaz poněkud usnadní po stránce početní.

1. Pro $n=0$ je $a_0 = 7^{0}-1 = 1-1 = 0$ , což je dělitelné čímkoliv nenulovým a tedy i 30-ti .
(Pokud by se nám nelíbilo počítat nulu k přirozeným číslům, mohli bychom tuto část důkazu provést pro $n=1$ ,
avšak ne tak triviálně po aritmetické stránce - ale to jsi, zdá se, zvládl.)

2. Nyní je potřeba jasně stanovit indukční předpoklad. Tímto předpokladem bude, že $n$ je takové přirozené číslo,
pro něž $a_n$ je dělitelné 30-ti, tedy

(1) $a_n = 30k$ , kde $k$ je celé číslo.

Oprávněnost indukčního předpokladu plyne z prvního kroku, kde jsme jedno přirozené číslo $n$ s vlastností (1) objevili.
Na základě (1) pak dokazujeme, že také $a_{n+1}$ je dělitelné 30-ti:

$a_{n+1} = (a_{n+1} - a_{n}) + a_{n} =(7^{4n + 4} - 7^{4n}) + 30k = 7^{4n}(7^4 - 1) + 30k = ...$ .

Poznámka. Zdá se, že aritmetické kalkulaci s výrazem $7^4 - 1 = a_1$ se stejně nevyhneme.

byk7 · 20. 05. 2015 11:49

Já bych řekl, že z $7^{4n}=2401^n$ jde vidět, že číslo $2401^n$ dává po dělení třiceti zbytek jedna, odtud už $30\mid2401^n-1$ , ne? :-)

Rumburak · 20. 05. 2015 12:26

↑ byk7:

Ano, na základě binomícké věty lze tak usoudit . :-)

Další způsob: využít vzorec $q^0 + q^1 + q^2 + ... + q^{n-1} = \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ pro $q = 7^4$ .

bert.blader · 20. 05. 2015 14:20

Děkuji Vám oběma za rady, už je mi to všechno jasné.

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2015 15:23

Důkaz dělitelnosti

#2 19. 05. 2015 15:51

Re: Důkaz dělitelnosti

#3 19. 05. 2015 17:06

Re: Důkaz dělitelnosti

#4 20. 05. 2015 11:18 Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: Dvojí odeslání

#5 20. 05. 2015 11:23 — Editoval Rumburak (20. 05. 2015 14:43)

Re: Důkaz dělitelnosti

#6 20. 05. 2015 11:49

Re: Důkaz dělitelnosti

#7 20. 05. 2015 12:26

Re: Důkaz dělitelnosti

#8 20. 05. 2015 14:20

Re: Důkaz dělitelnosti

Zápatí