Matematické Fórum

jan.westhuserlt@centrum.c · 17. 05. 2015 12:12

Ahoj, je toto řešení v pořádku po všech formalitách? Děkuji...

Freedy · 17. 05. 2015 12:16 — Editoval Freedy (17. 05. 2015 12:19)

vůbec
umocnuješ obě strany rovnice, nikoliv jednotlivé členy, copak snad platí:
$-4+4=0$
$16+16=0$ ? to asi těžko

dělíš celou rovnici x a jeden člen si vůbec nevydělila x, to je také naprosto mimo.

Správný postup je
přehodit x na druhou stranu:
$\sqrt{2-x}=-x$
levá strana bude vždy nezáporná. Pravá strana bude nezáporná pro $x\in (-\infty ;0\rangle$
Levá strana je definována pro $x\in (-\infty ;2\rangle$
Řešíme tedy danou rovnici na intervalu $x\in (-\infty ;0\rangle$
Umocníme obě strany a máme:
$2-x=x^2$
$x^2+x-2=0$
$(x+2)(x-1)=0$ >>> dva kořeny $x_1=-2\vee x_2=1$ ale je tu podmínka $x\le 0$ proto vyhovuje pouze kořen $x = -2$

jan.westhuserlt@centrum.c

Umocníme obě strany a máme:
$2-x=x^2$
$x^2+x-2=0$
$(x+2)(x-1)=0$ >>> dva kořeny $x_1=-2\vee x_2=1$ ale je tu podmínka $x\le 0$ proto vyhovuje pouze kořen $x = -2$
Tomu tak úplně nerozumím, můžeš to rozvést, potažmo mě někam odkázat, kde to už rozvedené je? Děkuji...
A ta podmínka o nule, ta se vzala odkud?

gadgetka

Ahoj, abys mohl umocňovat neznámou, musíš stanovit podmínky o její nezápornosti. Levá strana je pod odmocninou, čili musí splňovat podmínku, že výraz pod odmocninou je větší nebo roven nule. Pravá strana je nezáporná pro $x\in (-\infty ;0\rangle$ , to je ta druhá podmínka, na kterou se v závěru musí brát též zřetel.

Edit: Mezi uvedenými podmínkami uděláš průnik, protože musí platit současně.

Freedy · 17. 05. 2015 12:42

Ahoj,

nemusíš to dělat přes podmínky, můžeš to dělat například přes zkoušku, že nakonec dosadíš do původní rovnosti obě čísla a vybereš ten, který funguje, viz:
$1 + \sqrt{2-1}\not =0$
$-2+\sqrt{2-(-2)}=0$ >>> vyhovuje pouze kořen x = -2

Podmínka se vzala následovně (hodí se to například při řešení iracionálních nerovnic)
pokud máme rovnost nějakých dvou funkcí:
$f(x)=g(x)$ tak umocnění je neekvivalentní úprava, pokud nevíme, jakých hodnot (nekladných, nezáporných) dané funkce nabývají. Obecně tedy neplatí:
$f^2(x)=g^2(x)$ .
Nicméně v našem případě, máme
$f(x) = \sqrt{2-x}$ a tato funkce je pro každé $x\in (-\infty ;2\rangle$ nezáporná.
$g(x)=-x$ tato funkce, abychom mohli ekvivalentně upravovat, nabývá nezáporných hodnot pro $x\in (-\infty ;0\rangle$ . Čili za splnění obou podmínek, můžeme danou rovnici umocnit na druhou a nepřidat si žádné kořeny.
Ty kořeny navíc jsou tam proto, protože pokud mám nějaké číslo $a\in \mathbb{R}_{-\{0\}}$ tak nerovnost
$a\not =-a$ můžeme umocněním upravit na rovnost
$a^2=a^2$ což zřejmě platit nemůže.

jan.westhuserlt@centrum.c · 19. 05. 2015 15:49

$(x+2)(x-1)=0$

Tenhle rozklad se dělá jak? Já to už zapoměl.

misaH · 19. 05. 2015 15:51

↑ jan.westhuserlt@centrum.c:

Násobíš "každé s každým".

$(x+2)(x-1)=0$

$x.x-1.x+2.x+2.(-1)=0$

$x^2+x-2=0$

vanok · 19. 05. 2015 16:09

Pozdravujem.
Poznamka
Ked dostanes rovnicu $(x+2)(x-1)=0$ , tak to je velmi uzitocne. Lebo to ti umoznuje skoro okamzite dat jej riesenie.
( vsak vies, ze sucin dvoch cisiel je nulle, len ak jedno alebo druhe znich je nula). Snazit sa to vynasobit, potom riesit cez discriminant je ozaj nesikovne.

jan.westhuserlt@centrum.c · 19. 05. 2015 16:10

Díky, ale nějak si pod tím nedokážu přestavit ten rozklad odspoda nahoru.

jan.westhuserlt@centrum.c · 19. 05. 2015 16:12

vanok napsal(a):
Pozdravujem.
Poznamka
Ked dostanes rovnicu $(x+2)(x-1)=0$ , tak to je velmi uzitocne. Lebo to ti umoznuje skoro okamzite dat jej riesenie.
( vsak vies, ze sucin dvoch cisiel je nulle, len ak jedno alebo druhe znich je nula). Snazit sa to vynasobit, potom riesit cez discriminant je ozaj nesikovne.

Jistě, jinými sovy říkáš, že X mohou být taková čísla, co způsobí, že na obou stranách rovnice bude nula.

čili v tomto případě logicky -2 & +1.

vanok · 19. 05. 2015 16:21 — Editoval vanok (19. 05. 2015 16:22)

↑ jan.westhuserlt@centrum.c:,
To bude -2 alebo 1.
( akoze, tvoju rovnicu si dostal upravami, musis vyskusat v uplne prvej ktore z rieseni plati pre tu prvu danu rovnicu.... Mozu to byt aj obidve! A to ti da odpoved na tvoju prvu rovnicu)

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2015 12:12

řešení rovnice - formality

#2 17. 05. 2015 12:16 — Editoval Freedy (17. 05. 2015 12:19)

Re: řešení rovnice - formality

#3 17. 05. 2015 12:31 — Editoval jan.westhuserlt@centrum.c (17. 05. 2015 12:31)

Re: řešení rovnice - formality

#4 17. 05. 2015 12:38 — Editoval gadgetka (17. 05. 2015 12:41)

Re: řešení rovnice - formality

#5 17. 05. 2015 12:42

Re: řešení rovnice - formality

#6 19. 05. 2015 15:49

Re: řešení rovnice - formality

#7 19. 05. 2015 15:51

Re: řešení rovnice - formality

#8 19. 05. 2015 16:09

Re: řešení rovnice - formality

#9 19. 05. 2015 16:10

Re: řešení rovnice - formality

#10 19. 05. 2015 16:12

Re: řešení rovnice - formality

vanok napsal(a):

#11 19. 05. 2015 16:21 — Editoval vanok (19. 05. 2015 16:22)

Re: řešení rovnice - formality

Zápatí