Matematické Fórum

bert.blader · 22. 05. 2015 08:53

Dobrý den, potřeboval bych poradit s tímto příkladem. Jde to, že vlastně ani nevím co bych měl dělat, a tak doufám, že mi někdo poradí.

V první řadě nerozumím zápisu prvků v množině A. Jedná se o "jakoby" zlomkovou čáru nebo tak lze zapsat dvojici [x;y]? Pokud by šlo o zlomek, taky by se tam po zkrácení prvky opakovaly, což mi přijde jako hloupost.

Také vůbec netuším, jak dokázat, že U je zobrazení množiny A do množiny A a určit tím pádem obor hodnot.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-05/77567_priklad1.png

jelena · 22. 05. 2015 09:52

Zdravím,

řekla bych, že množina A se skládá ze zlomků, čárka je oddělovací znaménko prvků. Pro zápis prvků y musíš ještě přepsat zlomky do základního tvaru.

Pokud by šlo o zlomek, taky by se tam po zkrácení prvky opakovaly, což mi přijde jako hloupost.

to bude souviset s požadavkem dokázat, že U je zobrazení množiny A do množiny A (dle definice) a také pro zjištění, zda je zobrazení prosté + další požadavky. Alespoň tak to vidím na úvod.

bert.blader · 22. 05. 2015 14:30

Takže já to chápu tak, že U je tvořeno kartézským součinem AxA, jsou to tedy všechny dvojice [x;y], pčičemž x i y zastupují prvky množiny A. Ale nevím, jak bych dokázal, že jde o zobrazení z množiny A do množiny A. Zobrazení je přeci specální případ relace, kdy ke každému x přiřadím právě jedno y. Ale já tady přeci nemám žádnou podmínku, která by mi zakazovala přiřadit k jednomu x dvě různá y, nebo ano?

Relace U zahrnuje například dvojici $[1/3 ; 1/3]$ a dvojici $[1/3 ; 1/2]$ . Takže jsem k jednomu vzoru přiřadil dva různé obrazy. Proto bych řekl, že o zobrazení nejde.
Ale podle zadání očividně o zobrazení jde a já to mám dokázat. Takovým příkladům s množinami vůbec nerozumím...

Andrejka3

Relace U zahrnuje například dvojici $[1/3 ; 1/3]$ a dvojici $[1/3 ; 1/2]$ . Takže jsem k jednomu vzoru přiřadil dva různé obrazy. Proto bych řekl, že o zobrazení nejde.

Jaktože $[1/3 ; 1/2]\in U$ ?

Není pravda, že $U=A\times A$ , je to jen jistá podmnožina $A\times A$ . Viz nápověda Jeleny.

bert.blader · 22. 05. 2015 14:48

Chci se zeptat - jak je v zadání napsáno, že y je základní tvar x. - to znamená, že x a y jsou vždy stejná čísla nebo si to mám vyložit jinak?

jelena · 22. 05. 2015 15:18

Zdravím,

↑ Andrejka3: přenechávám do laskavé péče a děkuji :-)

↑ bert.blader: jen k dopracování: všechno pro $A\times A$ sestavíš tak, že vezmeš prvek z A a k němu do dvojice doplníš také prvek z A (může být i stejný), např. $[5/7 ; 5/7]$ . Takových dvojic bude celkem hodně.

Ale relace $U$ je jen podmnožinou tohoto kartézského součinu $A\times A$ a musí splňovat požadavek, že na prvním místě je prvek z množiny A, na druhém místě je také prvek z množiny A, přičemž tento prvek na druhém místě je zároveň základním tvarem ke zlomku na prvním místě.

to znamená, že x a y jsou vždy stejná čísla nebo si to mám vyložit jinak?

stejné, co do hodnoty, ale mohou být jiné, co do zápisu - např. x=2/6 a y=1/3, nebo také x=1/3 a y=1/3. Zde je docela použitelný materiál s příklady a výklady a pokračuji, prosím, s ↑ Andrejka3:, budu vděčná.

Andrejka3

↑ bert.blader:
K otázce zápisů. Chápu to tak, že $A$ obsahuje 'symboly', je jich tam právě 6. Například obsahuje symbol 7/21 a symbol 1/3. Jsou to jiné prvky.
Ale $U$ je zadána tak, že najednou s těmi symboly se má pracovat jako s čísly. Takže vezmeš prvek z A, třeba 7/21, začneš ho chápat jako číslo, pokrátíš co se dá a zůstane Ti právě zlomek v kanonickém tvaru, 1/3. To máš udělat pro každý prvek A.

Zdravím ↑ jelena:. Omlouvám se, že vlastně píšu totéž jen jinak.

bert.blader · 22. 05. 2015 15:58

Jo takhle, děkuji za objasnění. Takže předpokládám, že binární relace U, obsahuje všechny dvojice [x;y] , proto které má x a y stejnou hodnotu (po zkrácení) a oba prvky se vybírají z množiny A.

Takže k jednomu x mohu přiřadit jen jedno y, aby čísla měla stejnou hodnotu. A jelikož množinou, ze které mohu prvky vybírat, je celá množina A, tak jde o zobrazení množiny A do množiny A.

Další otázka- urči obor hodnot.
-Obor hodnot je množina vše vzorů. Takže bych řekl, že je to celá množina A.

Další otázka - je U prosté zobrazení?
- nevím, ale asi ano. Protože pokud bude dvojice [1/3 ; ?]. Tak za "?" (tedy y) mohu dosadit zase jedině 1/3, aby byla splněna podmínka, že x, y jsou čísla se stejnou hodnotou.

Další otázka - Utvořte inverzní relaci.
Inverzní relací udělám tak, že v uspořádané dvojici [x ; y] prohodím hodnoty, vznikne tedy relace [y ; x]

Další otázka - Jakou funkci musí splňovat zobrazení, aby k němu inverzní relace byla zobrazením?
-původní zobrazení musí být prosté. Pokud by nebylo, tak inverzí nevznikne zobrazení, ale relace.

Může to takhle být?

Andrejka3 · 22. 05. 2015 16:14

↑ bert.blader:
Ano, ale

-Obor hodnot je množina vše vzorů. Takže bych řekl, že je to celá množina A.

Množina všech vzorů je definiční obor. Obor hodnot je množina všech obrazů (to jsou ty na druhém místě).

Další otázka - je U prosté zobrazení?
- nevím, ale asi ano. Protože pokud bude dvojice [1/3 ; ?]. Tak za "?" (tedy y) mohu dosadit zase jedině 1/3, aby byla splněna podmínka, že x, y jsou čísla se stejnou hodnotou.

Právě jsi podruhé odůvodnil, proč je ta relace zobrazení. Jestli je prosté? Jestli každý obraz má jediný vzor.

Další otázka - Utvořte inverzní relaci.
Inverzní relací udělám tak, že v uspořádané dvojici [x ; y] prohodím hodnoty, vznikne tedy relace [y ; x]

Jo. A to poslední taky.

bert.blader · 22. 05. 2015 16:54

Moc Vám děkuji za trpělivost! :) To první jsem myslel dobře, jen jsem se přepsal a prohodil obraz se vzorem. Každopádně ještě jednou děkuji.

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2015 08:53

Zobrazení a binární relace

#2 22. 05. 2015 09:52

Re: Zobrazení a binární relace

#3 22. 05. 2015 14:30

Re: Zobrazení a binární relace

#4 22. 05. 2015 14:41 — Editoval Andrejka3 (22. 05. 2015 14:43)

Re: Zobrazení a binární relace

#5 22. 05. 2015 14:48

Re: Zobrazení a binární relace

#6 22. 05. 2015 15:18

Re: Zobrazení a binární relace

#7 22. 05. 2015 15:48 — Editoval Andrejka3 (22. 05. 2015 15:50)

Re: Zobrazení a binární relace

#8 22. 05. 2015 15:58

Re: Zobrazení a binární relace

#9 22. 05. 2015 16:14

Re: Zobrazení a binární relace

#10 22. 05. 2015 16:54

Re: Zobrazení a binární relace

Zápatí