Matematické Fórum

KubaP · 23. 05. 2015 14:15 — Editoval KubaP (23. 05. 2015 15:12)

Ahoj, jak mohu zakreslit vektor v prostoru pomocí souřadnic x,y,z ? Abych viděl kam směřuje..
mám například vektor $\vec{s}(1;2;-1)$
Logicky vektor má počátek v bodu a konec udavají složky(souřadnice), takže v prostoru je jeho konec na souřadnicích [1;2;-1] a počátek v bodu, který udává parametrické vyjádření přímky? Mohu nějak zobrazit vektor v prostoru jen pomocí jeho složek?

A pak mám ještě jednu otázku, jak udělám ze směrového vektoru v prostoru vektor normálový?
Resp. pokud budu mít zadání rovnice přímky parametricky, jak z ní udělám obecnou rovnici přímky?

$x=3+t$
$y=5+2t$
$z=-t$

EDIT: Tak druhá otázka je asi zbytečná, zřejmě v prostoru je jediné vyjádření přímky parametrické :)

EDIT2: Napadla mě ještě jiná otázka.. Pokud si udělám rovinu kolmou na tuto přímku vyjádřenou parametricky, pak získám obecnou rovnici této roviny, že je $x+2y-z-13=0$
Jak z obecné rovnice roviny udělám parametrickou rovnici roviny? Jde to? :)
Napadlo mě jedině udělat z ní úsekový tvar $\frac{x}{13}+\frac{y}{\frac{13}{2}}-\frac{z}{13}=1$
A teď znám 3 body souřadnic a díky nim si mohu udělat dva směrové vektory a ty využít k parametrickému vyjádření...

Jj · 23. 05. 2015 15:15

↑ KubaP:

Dobrý den.

Řekl bych, že

1. Pro účely základních úloh analytické geometrie je účelné považovat za počáteční bod vektoru počátek O(0,0,0) kartézské soustavy souřadnic, jeho koncový bod pak bude v bodě o souřadnicích daných právě složkami vektoru, tzn. můžete jej pak zobrazit jen pomocí jeho složek. Není to jediné možné zadání vektoru (např. třeba zadání délkou vektoru a kosíny úhlů, které svírá s osami souřadnic).

2.

Tak druhá otázka je asi zbytečná, zřejmě v prostoru je jediné vyjádření přímky parametrické :)

Ne, nejde o jediné vyjádření přímky v prostoru. Obvyklé je také zadání přímky jako průsečnice dvou rovin. Uvádí se třeba tzv. kanonický tvar rovnice přímky určené bodem (x0, y0, z0) a směrovým vektorem (m, n, p):

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$ , které se lehce převedou na parametrický tvar

$x=x_0 + m\cdot t,\,y=y_0+n\cdot t,\,z = z_0+p\cdot t$

Jj · 23. 05. 2015 15:21

↑ KubaP:

Parametrické vyjádření roviny viz třeba Odkaz, ale základů analytické geometrie v prostoru je "plný internet", chce to i trochu nastudovat.

KubaP · 23. 05. 2015 16:28

Děkuji o kanonickém tvaru jsem ještě neslyšel :)
Původní druhou otázku jsem naštěstí vyřešil, ale zajímalo by mě ještě, jestli lze z parametrického tvaru rovnice roviny udělat tvar úsekový? Samozřejmě by to šlo, pokud bych si z toho vyjádřil tvar obecný a z něj až úsekový, ale jde to i rovnou?

Například rovnice roviny:
$x=3+13a-13b$
$y=5-\frac{13}{2}a$
$z=-13b$

$a,b ... parametry$

Jj · 23. 05. 2015 17:41

↑ KubaP:

No, ono to nějak půjde, ale nepřepokládám, že to bude jednodušší, než přes obecný tvar rovnice. Já nějaký přímý o mnemotechniku opřený postup neznám.

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2015 14:15 — Editoval KubaP (23. 05. 2015 15:12)

Analytická geometrie - vektory v prostoru

#2 23. 05. 2015 15:15

Re: Analytická geometrie - vektory v prostoru

#3 23. 05. 2015 15:21

Re: Analytická geometrie - vektory v prostoru

#4 23. 05. 2015 16:28

Re: Analytická geometrie - vektory v prostoru

#5 23. 05. 2015 17:41

Re: Analytická geometrie - vektory v prostoru

Zápatí