Matematické Fórum

ragulin · 24. 05. 2015 13:20

Zdravím, mám funkci
$f(x,y)=\frac{ln(1-xy)}{\sqrt{max (x,y)}}$

U které mám vyřešit definiční obor. Nějak ovšem nechápu ten zápis pod odmocninou....jak bych měl v takovém případě postupovat? Děkuji

Andrejka3 · 24. 05. 2015 13:59

Ahoj. Můžeš se zamyslet, kdy je $\max\{x,y\}\leq 0$ .

Jinak, je $\max(x,y)=\begin{cases}x&\text{pokud }x\geq y\\ y& \text{pokud }y\geq x \end{cases}$

ragulin · 24. 05. 2015 14:07

↑ Andrejka3:

huh...nemělo by to být
$max (x,y) \ge 0$

A potom...pokud z čitatele vyvodim podmínku že
$y<\frac{1}{x}$

Tak to je y? Nebo...mám v tom asi trochu zmatek...-.-

vanok · 24. 05. 2015 14:16

Poznamka, ak lepsie poznas absolutnu hodnotu, dokaz a potom pouzi
$max(a,b) = (a + b)/2 + |(a - b)/2|$

Andrejka3 · 24. 05. 2015 14:18

↑ ragulin:
Být tebou, řeším zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele.
Podmínka ze jmenovatele dává skoro to, co píšeš: $\max (x,y) > 0$ - nulou dělit nelze. Mě jen přišlo snadnější vyšetřit, kdy jmenovatel nemá smysl: $\max\{x,y\}\leq 0$ .

Můžeš využít, že $x\leq \max(x,y)$ .

ragulin · 24. 05. 2015 14:25

↑ Andrejka3:

Asi jsme natvrdlej, ale nohužel k tomu nemám zžádný materialy. . . prostě hledám maximální možné číslo, jaké mužu dosadit za x a za y....to tam ale přeci mužu dát jakýkoliv číslo který je větší než nula, ne? A jak to mám potom kreslit, když tam mám nekonečně kladných čísel? Opravdu mi to hlava nebere, už nad tim dumam dvě hodiny :(

Andrejka3 · 24. 05. 2015 14:33

↑ ragulin:
Teď nechápu, o jakém dosazování píšeš. Možná nechápeš pořád to max. Je to fce, která dvojici čísel přiřadí to větší z nich (nebo pokud jsou si rovny tak prostě jedno z nich). Například $\max(1,2)=2$ , $\max(1,1)=1$ .
Takže máš jasně definovanou fci dvou proměnných. Úkol je ted najít všechna $(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ taková, že $\max (x,y)\leq 0$ (anebo $\max(x,y)>0$ , podle toho, co se ti více líbí).
Například, $\max(-1,-1)=-1\leq 0$ .

ragulin

↑ Andrejka3:

Aha, to mi trochu vlilo opět světlo do temný jámy...nicméně, pokud tomu rozumím dobře...mám funkci
$\sqrt{max(x,y)}$
Definiční obor takové funkce je dán podmínkou
$max(x,y)\ge 0$

Teď k rozuzlení...
Pokud 1)
$1) x>y$ potom $Df=x$
$2)x<y$ potom $Df=y$

A podmínka čitatele mi potom teda udává
$1)\frac{ln (1-xy)}{\sqrt{\frac{1}{y}}}$
$2)\frac{ln (1-xy)}{\sqrt{\frac{1}{x}}}$

Jestli to tedy chápu už dobře...:)

Andrejka3 · 24. 05. 2015 14:56

Tohle mě dost mate.

ragulin napsal(a):
↑ Andrejka3:
Pokud 1)
$1) x>y$ potom $Df=x$
$2)x<y$ potom $Df=y$

↑ ragulin:
Nemůžeš psát $D_f=x$ , to už má být množina dvojic čísel a nemá obsahovat symbol x.

Zkus si vyřešit podpříklad: najdi všechny dvojice $(x,y)$ , pro která $\max(x,y)=0$ .
Jistě třeba dvojice $(0,0)$ toto splňuje. Najdi všechny ostatní. Vyřešit původní zadání už nebude o mnoho těžší.
Asi jsi přišel na správnou věc, že pro představu může být užitečné si případy rozdělit na dvě možnosti -- kdy $x<y$ a kdy ne.. Něco takového obecně může pomoct.

ragulin · 24. 05. 2015 15:06

Andrejka3 napsal(a):
Tohle mě dost mate.
↑ Andrejka3:
Zkus si vyřešit podpříklad: najdi všechny dvojice $(x,y)$ , pro která $\max(x,y)=0$ .
Jistě třeba dvojice $(0,0)$ toto splňuje. Najdi všechny ostatní. Vyřešit původní zadání už nebude o mnoho těžší.

Z toho tvého příkladu, je jasně vidět, že
$y=-x$

Pokud v mém zadání, kdy
$max (x,y) > 0$

Použiju tvůj postup, tak ted
$1)x>0\vee y\le 0$
vysvětlení: Maximum z funkce je X, které je větší než nula a současně platí, že Y musí být menší nebo rovno než 0, protože funkci udává proměná X...

$2)y>0\vee x\le 0$

Vysvětlení: Maximum z funkce je Y, které je větší než nula, a současně platí, že X je menší nebo rovno než nula.

Závěr : U funkcí které jsou označeny:
$max/min (x,y) = z$

Hledám vždy takovou uspořádanou dvojici čísel, kdy bud
$a) x>z\vee y\le z$

A obráceně....

Mým selským rozumem...

Vždy si za X hodím maximální možnou podmínku, a Y musí být zakonitě menší, nebo rovno...Snažím si v tom udělat pořádek 8)

Je tahle logika správná? Děkuji

Andrejka3 · 24. 05. 2015 15:16

Pokud v mém zadání, kdy
$max (x,y) > 0$

Použiju tvůj postup, tak ted
$1)x>0\vee y\le 0$
vysvětlení: Maximum z funkce je X, které je větší než nula a současně platí, že Y musí být menší nebo rovno než 0, protože funkci udává proměná X...

$2)y>0\vee x\le 0$

Blížíš se. De facto říkáš, že pro $(x,y)\in (\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^-)\cup(\mathbb{R}^-\times\mathbb{R}^+)$ je $\max(x,y)>0$ . To je pravda, třeba $(1,-2)=(-2,1)=1>0$ .
Ale jsou i další dvojice, pro které je to max kladné, co třeba když jsou obě čísla kladná?

ragulin · 24. 05. 2015 15:25

↑ Andrejka3:

Ne, přeci $max(x,y) >0$ Tak bud je X větší než nula, nebo Y větší než nula...obě dvě větší být nemužou...a nebo je to
$1)x>0 \vee y\le x$

...?

Andrejka3 · 24. 05. 2015 15:28

ragulin napsal(a):
↑ Andrejka3:

Ne, přeci $max(x,y) >0$ Tak bud je X větší než nula, nebo Y větší než nula...obě dvě větší být nemužou...

Proč by nemohla být obě kladná? Pak max z nich je to větší z těch dvou a to je taky kladné.
Takže teď už ti to je asi jasné...?
Obrázek v rovině pomůže. Jakým kvadrantům ta množina $\{(x,y);\max(x,y)>0\}$ odpovídá?

ragulin · 24. 05. 2015 15:37

↑ Andrejka3:
První a čtvrtý kvadrant kompletně vyšrafovaný.....?

Andrejka3

↑ ragulin:
První souhlas: max (kladné kladné)=kladné
Čtvrtý souhlas: max (kladné záporné)=kladné
Pro kontrolu, vzhledem k symetrii příkladu, musí být i výsledek symetrický, takže něco chybí...

Jinak, oprava toho níže:

ragulin napsal(a):
↑ Andrejka3:
$max(x,y) >0$ Tak bud je X větší než nula, nebo Y větší než nula...obě dvě větší být nemužou

je jak?

SW:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Andrejka3 · 24. 05. 2015 15:49

↑ ragulin:
Avšak tato podmínka je ok jen pro $x>0$ . Takže tou vyřešíš, jak vypadá Df v kvadrantu 1 a 4 a vypadá tak, jak popisuješ.
Pozor, pokud x<0, podmínka je naopak $y>\frac{1}{x}$ .
SW: Odkaz

ragulin · 24. 05. 2015 15:51

↑ Andrejka3:

Mno pokud budou oba dva záporné, tak je to kladné taky, takže to bude celé R*R ...všechny 4 kvadranty...jenže tak to nebude. Beru přeci jen maximum funkce...takže pokud bych měl
$max (-1,-3)>0$
Nemohl bych vzít, že to je -1, protože beru to maximum...takže
$max (x,y)>0$
$1)x>0\vee y\le x$

$2)y>0\vee x\le y$

Tím pádem pouze první a čtvrtý kvadrant...

Andrejka3 · 24. 05. 2015 15:59

Tady je nějaké nepochopení:

ragulin napsal(a):
↑ Andrejka3:
Mno pokud budou oba dva záporné, tak je to kladné taky, takže to bude celé R*R ...všechny 4 kvadranty...jenže tak to nebude. Beru přeci jen maximum funkce...takže pokud bych měl
$max (-1,-3)>0$
Nemohl bych vzít, že to je -1, protože beru to maximum...

To není pravda. max (-1,-3) je rovno tomu většímu z čísel z nabídky v závorce. Protože je -3<-1, je max(-1,-3)= -1<0

Co myslíš tím maximem fce?

ragulin

↑ Andrejka3:
No dobře, ale já mám předpis
$max (x,y) >0$

A $-1<0$ ...a to mi do toho nepasuje...

Andrejka3 · 24. 05. 2015 16:10

↑ ragulin:
Asi mi nedošlo, jak jsi to myslel. Takže je to první, druhý a čtvrtý kvadrant, tak, jak jsem dala odkaz na wolfram.
První : max (kladné, kladné)=kladné
Čtvrtý : max (kladné, záporné)=kladné
Druhý: max (záporné, kladné)=kladné
------
Třetí: max (záporné,záporné)= záporné

Zkrátka $\max(x,y)>0\iff (x>0)\vee(y>0)$ , neboli když aspoň jedno z x,y je kladné.

Je to jasné?
Pozn.: vztah ↑ vanok: je zajímavý a asi ho používá wolfram na výpočet.

ragulin · 24. 05. 2015 16:15

↑ Andrejka3:
Už to vidím , druhý kvadrant udává podmínka
$2) y>0 \vee x\le y$

Takže X muže jít i do záporu, správně?

Andrejka3 · 24. 05. 2015 17:30

↑ ragulin:
Jo tak, ty si specifikuješ, v jakém vztahu je x k y. Pak takhle:
$x\leq y$ , pak $\max(x,y)=y$ a chceme $0<\max(x,y)=y$ , anebo analogicky prohozením $x$ a $y$ . To je ale zbytečně komplikovaný pohled.
Prostě jediná možnost, aby $\max(x,y)\leq 0$ je, když $x,y\leq 0$ . Kdyby totiž naopak aspoň jedno z nich bylo kladné, bez újmy na obecnosti x, pak $0<x\leq\max(x,y)$ .
Stačí to?

ragulin · 24. 05. 2015 19:01

asi ano, nejspíš zustanu u té svojí komplikované metody, které už rozumím, strašně moc ti děkuji...nemáme žádné učebnice kde by nám to vysvětlili, a tohle na internetu nikde není, vytáhla si mi trn z paty:-)↑ Andrejka3:

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2015 13:20

Funkce dvou proměnných max / min

#2 24. 05. 2015 13:59

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#3 24. 05. 2015 14:07

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#4 24. 05. 2015 14:16

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#5 24. 05. 2015 14:18

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#6 24. 05. 2015 14:25

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#7 24. 05. 2015 14:33

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#8 24. 05. 2015 14:43 — Editoval ragulin (24. 05. 2015 14:48)

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#9 24. 05. 2015 14:56

Re: Funkce dvou proměnných max / min

ragulin napsal(a):

#10 24. 05. 2015 15:06

Re: Funkce dvou proměnných max / min

Andrejka3 napsal(a):

#11 24. 05. 2015 15:16

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#12 24. 05. 2015 15:25

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#13 24. 05. 2015 15:28

Re: Funkce dvou proměnných max / min

ragulin napsal(a):

#14 24. 05. 2015 15:37

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#15 24. 05. 2015 15:44 — Editoval Andrejka3 (24. 05. 2015 15:45)

Re: Funkce dvou proměnných max / min

ragulin napsal(a):

#16 24. 05. 2015 15:45 Příspěvek uživatele ragulin byl skryt uživatelem ragulin. Důvod: Předbíham

#17 24. 05. 2015 15:49

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#18 24. 05. 2015 15:51

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#19 24. 05. 2015 15:59

Re: Funkce dvou proměnných max / min

ragulin napsal(a):

#20 24. 05. 2015 16:04 — Editoval ragulin (24. 05. 2015 16:09)

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#21 24. 05. 2015 16:10

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#22 24. 05. 2015 16:15

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#23 24. 05. 2015 17:30

Re: Funkce dvou proměnných max / min

#24 24. 05. 2015 19:01

Re: Funkce dvou proměnných max / min

Zápatí