Matematické Fórum

zuzik1 · 24. 05. 2015 22:20

Ahoj, mám jeden integrál, který vede na parciální zlomky, ale nevím jak přesně je rozložit a dopočítat se konstant.

Zadání je takovéto:

$\int \frac{1}{x^3-2x^2+x} dx$

Jmenovatel upravím a dostanu tohle:
$\int \frac{1}{x^3-2x^2+x} dx=\int \frac{1}{x(x-1)(x-1)}dx$

A když mám tento zlomek vyřešit pomocí parciálních zlomků dostanu se sem:
$\frac{1}{(x-1)(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

A teď už jsem nějak v koncích. Nevím co dál s tímto udělat, protože když to převedu na rovnici $1=A(x-1)+B$ tak sice dosazením nulového bodu $x=1$ dostanu, že konstanta $B=1$ , ale nevím jak z toho dostat konstantu $A$ .

Může mi prosím někdo poradit, co s tím dál mám udělat?

Děkuji

Al1 · 25. 05. 2015 07:20

↑ zuzik1:
Zdravím,

rozklad bude mít podobu
$\frac{1}{x(x-1)(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}$

zuzik1 · 25. 05. 2015 08:43

Aha díky, ale stejně mám problém s úpravou, když z toho udělám rovnici
$1=A(x-1)^2+Bx(x-1)+C$ a potom dosadím za $x=1$ tak mi vyjde, že $C=1$ , ale dál nějak nevím jak dostat konstanty $A$ a $B$ .

Al1 · 25. 05. 2015 08:49

↑ zuzik1:

Po roznásobení dostanete
$1=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx$

$x=1\Rightarrow C=1\nl x=0\Rightarrow A=1$

A teď je třeba porovnat koeficienty před jednotlivými členy na levé a pravé straně
$x^{2}:0=A+B$

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2015 22:20

Parciální rozklad

#2 25. 05. 2015 07:20

Re: Parciální rozklad

#3 25. 05. 2015 08:43

Re: Parciální rozklad

#4 25. 05. 2015 08:49

Re: Parciální rozklad

Zápatí