Matematické Fórum

holcina.16

Ahoj,

potřebovala bych pomoci s příkladem. Zadání je:

Určete extrémy pomocí Langrange
$f(x,y)=xyz$ a podmínky $g_{1}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1$ a $g_{2}=x+y$ .

Došla jsem k derivacím funkce:
$\delta _{x}L=yz+2\lambda _{1}x+\lambda _{2}$
$\delta _{y}L=xz+2\lambda _{1}y+\lambda _{2}$
$\delta _{z}L=xy+2\lambda _{1}z$

$\delta _{\lambda _{1}}L=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1$
$\delta _{\lambda _{2}}L=x+y$

Nevím, co kde vyjádřit a kam dosadit, poradil by mi někdo?

Děkuji.

Bati · 26. 05. 2015 17:26

Ahoj,
první co bych zkusil je vynásobit první x, druhou y, třetí z, sečíst vše dohromady a použít g1 a g2. Pak taky bych sečetl 1. a 2. rovnici a použil g2. Napiš, co vyjde a podíváme se co dál.

holcina.16 · 26. 05. 2015 17:26

↑ Bati: A proč vynásobit první x a druhou y? To lze?

Bati · 26. 05. 2015 17:35

↑ holcina.16:
Aby pak šlo použít g1. Tenhle trik se často dělá když máš kvadratickou vazbu, jako tady. Derivováním totiž zmizí jedno x a když si ho tam znova přinásobíš, dostaneš něco, kde budeš moct využít tu vazbu. K tomu aby to šlo stačí vědět, že ty čísla x,y,z jsou v extrémech nenulová.

A začni spíš tím druhým...plyne z toho hned, že lambda2 je 0.

holcina.16 · 26. 05. 2015 19:12

↑ Bati:Dobře, děkuji. Zítra se na to podívám :-)

holcina.16 · 27. 05. 2015 17:25

↑ Bati: Ahoj, tak jak to počítám, tak mi to prostě nejde :( Vynásobila jsem ty první tři derivace x,y a z a pak nevím, co dál :(

Bati · 27. 05. 2015 17:43

Podle toho, co jsem radil dostanu
$3xyz+2\lambda_1(x^2+y^2+z^2)+\lambda_2(x+y)=0$ a
$(x+y)z+2\lambda_1(x+y)+2\lambda_2=0$ .
Vazby to zredukujuou na
$3xyz+2\lambda_1=0$
$\lambda_2=0$
Teď stačí dosadit za $\lambda_1$ a vyřešit soustavu 3 rovnic pro x,y,z, anebo přijít na nějakou další fintu.

holcina.16 · 28. 05. 2015 17:06

↑ Bati: Ahoj, tak nějak tomu nerozumím. Nějak neznám ty finty, učitel nám žádné neříkal :(

holcina.16

↑ Bati: Abych si to tedy shrnula - první tři derivace vynásobím postupně x,y a z a pak tyto tři rovnice sečtu?

Tím tedy získám

$\delta _{x}L=xyz+2\lambda _{1}x^{2}+\lambda _{2}x$
$\delta _{y}L=xyz+2\lambda _{1}y^{2}+\lambda _{2}y$
$\delta _{z}L=xyz+2\lambda _{1}z^{2}$

Sečetla jsem 1+2+3 a získala
$3xyz+2\lambda _{1}.(x^{2}+y^{2}+z^{2})+\lambda _{2}(x+y)$

Poté jsem sečetla 1+2 a získala
$(x+y)z+2\lambda _{1}(x+y)+2\lambda _{2}$

a ty dvě podmínky $g_{1}$ a $g_{2}$ dosadíme do těchto rovnice a co potom tedy?

Dostala jsem $2\lambda _{1}=-3xyz$ to jsem dosadila do prvních tří rovnic a dostala
$yz-6x^{2}yz=0$
$xz-6xy^{2}z=0$
$xy-6xyz^{2}=0$

Z 1. rovnice mi vyšlo $y=0,z=0, x^{2}=1/6$
Z 2. rovnice mi vyšlo $x=0,z=0, y^{2}=1/6$
Ze 3. rovnice mi vyšlo $x=0,y=0, z^{2}=1/6$

A co dál?
Ale nevím, co dál a také nevím, jak bych u zkoušky na toto přišla, nebo to se dělá pořád, pokud máme kvadratickou vazbu? Učitel nám ukázal jen ty lehčí příklady, kdy si vytkneme z jednotlivých rovnic proměnnou a pak nám dává ke zkoušce takové těžké příklady.

Děkuji moc za radu.

Bati · 29. 05. 2015 11:13

↑ holcina.16:
Zdá se mi, že po tom dosazení by to mělo spíš být
$yz-3x^{2}yz=0$ ...
Z toho dostaneš (pokud chceš nenulové řešení), že $1=3x^2$ , tj. $x=\pm\frac1{\sqrt{3}}=y=z$ . A je to.
Jediný "trik" byl v tom vynásobení a sečtení rovnic, ale je to všechno jen o tom, nějak to napasovat na ty vazby...to se dá natrénovat.

holcina.16 · 31. 05. 2015 16:20

↑ Bati:

Jo, děkuji :)

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2015 16:45 — Editoval holcina.16 (26. 05. 2015 16:46)

Extrémy - Langrange

#2 26. 05. 2015 17:26

Re: Extrémy - Langrange

#3 26. 05. 2015 17:26

Re: Extrémy - Langrange

#4 26. 05. 2015 17:35

Re: Extrémy - Langrange

#5 26. 05. 2015 19:12

Re: Extrémy - Langrange

#6 27. 05. 2015 17:25

Re: Extrémy - Langrange

#7 27. 05. 2015 17:43

Re: Extrémy - Langrange

#8 28. 05. 2015 17:06

Re: Extrémy - Langrange

#9 28. 05. 2015 17:17 — Editoval holcina.16 (28. 05. 2015 17:37)

Re: Extrémy - Langrange

#10 28. 05. 2015 17:20 Příspěvek uživatele holcina.16 byl skryt uživatelem holcina.16.

#11 29. 05. 2015 11:13

Re: Extrémy - Langrange

#12 31. 05. 2015 16:20

Re: Extrémy - Langrange

#13 31. 05. 2015 16:39 Příspěvek uživatele holcina.16 byl skryt uživatelem holcina.16.

Zápatí