Matematické Fórum

ektomorf · 26. 05. 2015 19:40

Zdravím, nevím si rady s následujícím příkladem.

Je-li cos 2x = 0,5; $x\in <0; \pi )$
Jak velký je tg x ?

Děkuji za rady.

gadgetka · 26. 05. 2015 19:44

Ahoj, je to $\cos (2x)$ nebo $\cos^2x$ ?

ektomorf · 26. 05. 2015 19:46

Omlouvám se za nejasnosti, je to: cos (2x)

Al1 · 26. 05. 2015 19:49 — Editoval Al1 (26. 05. 2015 19:54)

↑ ektomorf:

Zdravím,

$\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x$
$1-2\sin ^{2}x=\frac{1}{2}$
Zde vyjádři sinx.

$\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=\frac{1}{2}$

Odtud vyjádříš cosx.

A podíl obou hodnot je tgx.

A hodnoty musíš určovat vzhledem k definičnímu oboru $x\in <0; \pi )$

Pokud můžeme řešit pomocí velikosti úhlu, pak
$\cos (2x)=\frac{1}{2}\nl 2x=\frac{\pi }{3}\nl x=\frac{\pi }{6}$
$\text{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

gadgetka · 26. 05. 2015 19:54

Co mě napadlo, jako první:
$\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=\frac 12$
$1-\sin^2x-\sin^2x=\frac 12$
$2\sin^2x=\frac 12$
$\sin^2x =\frac 14$
$\sin x = \pm \frac 12$

Protože je zadán I. a II. kvadrant, vybíráme jen kladný kořen:
$\sin x = \frac 12$

Dosadila bych to do první rovnice
$\cos^2x-\sin^2x=\frac 12$

a vyjádřila $\cos x$

A pak vyjádřila $\text{tg} x$ jako $\frac{\sin x}{\cos x}$ .