Matematické Fórum

KubaP · 28. 05. 2015 13:13 — Editoval KubaP (28. 05. 2015 13:23)

Ahoj, mám kořeny kvadratické rovnice x1, x2 vyjádřené jako komplexní číslo a tyto kořeny mám převést na goniometrický tvar.

$x_{1}=-3+3i$
$x_{2}=-3-3i$
$|x_{1}|=|x_{2}|=3\sqrt{2}$

$x_{1}=-3+3i=3\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=3\sqrt{2}(\cos (\frac{3\pi }{4})+i\sin (\frac{3\pi }{4}))$

$x_{2}=-3-3i=3\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)=3\sqrt{2}(\cos (\frac{5\pi }{4})+i\sin (\frac{5\pi }{4}))$

Poradíte mi prosím, jak se došlo k výsledku $\frac{3\pi }{4}$ a $\frac{5\pi }{4}$ ?

Pro kořen x1:
$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha =\frac{3\pi }{4}$
$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{4}$

Proč je tam jen $\frac{3\pi }{4}$ ?

To stejné kořen x2:
$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha =\frac{3\pi }{4}$
$\sin \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha =\frac{7\pi }{4}$

Proč vyšlo $\frac{5\pi }{4}$ ?

gadgetka · 28. 05. 2015 13:24

Ahoj, funkce kosinus je záporná ve II. a III. kvadrantu, funkce sinus je kladná v I. a II. kvadrantu - II. kvadrant je tedy řešením, z čehož pro kosinus plyne
$\alpha =\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$

Obdobně to zkus řešit pro tvůj další dotaz.

KubaP · 28. 05. 2015 13:38 — Editoval KubaP (28. 05. 2015 13:49)

Děkuji moc, ale mohla bys to trošku víc zobecnit ten postup? :)
To platí za jakých podmínek, že najdu společný kvadrant?
A když už jej najdu, tak jak zjistím, že mám přičítat zrovna těch 45° k pí (ze sinu -45°)?
Co tím vlastně udělám?

gadgetka · 28. 05. 2015 14:17

Základní úhel pro hodnotu $\frac{\sqrt 2}{2}$ je $x_0=\frac{\pi}{4}$ .

Pokud je hledaný úhel z druhého kvadrantu, základní úhel se odečítá od $\pi$ . Pokud je ze III. kvadrantu, přičítá se k $\pi$ a pokud je ze IV. kvadrantu, odečítá se od $2\pi$ .
Ty si musíš všímat kladnosti či zápornosti kořenů a najít pro ně společný kvadrant. V tvém druhém dotazu jsou oba kořeny záporné. V jakém kvadrantu je sinus i kosinus záporný? Ve III. Proto základní úhel přičteš k $\pi$ .

KubaP · 28. 05. 2015 14:23

Děkuji :)
Až teď jsem si uvědomil, že sinus a kosinus mají obě funkce dvě řešení a v tomto příkladu je jedno ze 4 řešení společné :) Já to předtím bral tak, že sinus a kosinus mají dohromady jen 2 řešení a proto jsem to společné neviděl :-D
Mockrát děkuji za čas a trpělivost :)

Matematické Fórum

#1 28. 05. 2015 13:13 — Editoval KubaP (28. 05. 2015 13:23)

Goniometrický tvar komplexního čísla

#2 28. 05. 2015 13:24

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#3 28. 05. 2015 13:38 — Editoval KubaP (28. 05. 2015 13:49)

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#4 28. 05. 2015 14:17

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#5 28. 05. 2015 14:23

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

Zápatí