Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 28. 05. 2015 11:07
Konvergence, divergence alternující řady
Dobrý den,
potřeboval bych poradit s konvergencí následující řady (omlouvám se za nepoužití LaTeXu):
a_n=((-1)^n)(e^(1/n)-1)((n^2+4)^(1/2)-(n^2+n)^(1/2))
Absolutní konvergenci jsem vyvrátil srovnáním s řadou 1/n pomocí limitního srovnávacího kritéria.
Pro zkoumání neabsolutní konvergence jsem použil Leibnizovo kritérium. Podmínku lim a_n=0 jsem ověřil jednoduše. Pro ověření podmínky a_n>=a_(n+1) pro všechna n přirozená jsem derivoval (převedením n na x). Toto jsem ale neověřil (kontrola přes Wolfram|Alpha).
Tedy můj výsledek je, že řada diverguje. Což by ale mělo být špatně.
Poprosil bych tedy o navedení správným směrem.
Děkuji dopředu.
Offline
#2 28. 05. 2015 11:49
Re: Konvergence, divergence alternující řady
Ahoj, to, že nesplníš předpoklady Leibnizova kritéria neznamená, že řada diverguje. Nicméně se mi zdá hodně podezřelý, že by ta monotonie pro tak jednoduchou funkci neplatila. Zkus to ještě prověřit a pamatuj, že stačí, aby to platilo od jistýho (možná hodně velkýho) n.
Offline
#3 28. 05. 2015 13:04
Re: Konvergence, divergence alternující řady
Ano, ta divergence byla unáhlená. Při nesplnění podmínek víme jenom to, že řada nekonverguje.
Ve skriptech máme Leibnizovo kritérium takto:
Mějme řadu ∑((-1)^n)a_n splňující i) a_n >= a_(n+1) pro každé n ∈ N,
ii) lim a_n=0.
Potom ∑((-1)^n)a_n konverguje.
První podmínku si představuji tak, že je funkce nerostoucí pro každé n ∈ N, tedy derivace je všude <=0. Pro představu přikládám odkaz na WolframAplha (osobně by bylo pro mě obtížné dokázat platnost nerovnosti).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% … %2F2%29%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 29%2Fn%5E2
Na průběhu derivace je vidět, že podmínka i) není splněna.
Offline
#4 28. 05. 2015 13:18 — Editoval Bati (28. 05. 2015 13:21)
Re: Konvergence, divergence alternující řady
karim11 napsal(a):
Při nesplnění podmínek víme jenom to, že řada nekonverguje.
To není pravda. To, že řada nekonverguje je stejné jako říct, že diverguje. A pokud nemůžeme použít nějaké kritérium, pak nevíme o konvergenci nic, protože ty kritéria jsou většinou pouze postačující pro konvergenci. (Výjimkou je např. Bolzano-Cauchyova podmínka, která je nutná a postačující).
Tady pozor, tak jak to máš je to nesmyslné, protože ty členy jsou pro n>4 záporné. Musíš zkoumat monotonii těch členů v absolutní hodnotě, tedy 
.
A taky mi není jasný, jak jsi z toho obrázku derivace usoudil něco o jejím znaménku.
Pro konvergenci té řady je rozhodující, jak se ty členy (příp. derivace) chovají v okolí nekonečna.
Offline
#5 28. 05. 2015 13:57
Re: Konvergence, divergence alternující řady
Ten obrázek (průběhu derivace) jsem použil pro představu. Na něm vidím, že pro n ∈ R, n > 8(asi) derivace je kladná (a je rostoucí "ještě chvíli", není monotonní ((lokalní) max fce derivace v asi 12)). Byla by tedy otázka, co pro další, větší n.
Pro n>4 jsou členy opravdu záporné. Ale nevím, co myslíš tím zkoumání monotonie členů v absolutní hodnotě. Nevím, proč bych si mohl dovolit "prohození" členů v závorce. A k čemu by to bylo dobré?
Offline
#6 28. 05. 2015 14:03
Re: Konvergence, divergence alternující řady
To je právě důležité, co se děje pro větší n. Já tam vidím je to, že to splývá s osou x, takže z toho nejde rozhodnout.
Pokud nevíš, co tou abs. hodnotou myslím, zkusím to říct ještě jinak. V tom Leibnizovu kritériu, které jsi napsal chybí předpoklad a_n >= 0. Ty máš opak. To se dá obejít tak, že budeš zkoumat řadu s opačným znaménkem.
Offline
#7 28. 05. 2015 14:50
Re: Konvergence, divergence alternující řady
Bohužel se stále nechytám.
To naše znění Leib. kritéria předpokládá, že první člen takové řady je menší nebo roven 0.
Tedy původní řadu si mohu napsat jako a_n=((-1)^n)(-b_n), kde b_n je ten původní součin závorek. Pro tu stále platí, že není absolutně konvergentní.
Dále lim(n->inf)(a_n)=0 a chci aby platilo rostoucí pro všechna n přirozená? Nicméně monotonie stále neplatí (v tom grafu na WolframAplha se dá změnit měřitko a jde tedy vidět, že to "přelézá" x-ovou osu). Bohužel nemám zadáno n_0.
Offline
#8 28. 05. 2015 15:56
Re: Konvergence, divergence alternující řady
↑ karim11:
To by bylo dost divný kritérium...to by nešlo splnit.
Klasické předpoklady jsou
nerostoucí
od jistého n dál.
Offline
#9 28. 05. 2015 17:09
Re: Konvergence, divergence alternující řady
Takže mám teda zkoumat řadu a_n=(-1)((-1)^n))(e^(1/n)-1)((n^2+n)^(1/2)-(n^2+4)^(1/2))?
A dále tedy budu chtít zjistit na fci (e^(1/n)-1)((n^2+n)^(1/2)-(n^2+4)^(1/2)) monotonii derivace (nerostoucí) od nějakého n dál? Případně jak bych to dokazoval?
Offline
#10 29. 05. 2015 12:00 — Editoval Bati (30. 05. 2015 23:06)
Re: Konvergence, divergence alternující řady
↑ karim11:
Ano. Sám zatím nevím jak to jednoduše dokázat. Založím na to zvlášť téma, třeba na to někdo přijde.
Ještě by byla možnost použít Dirichletovo kritérium a zkusit dokázat, že 
má omezené částečné součty, ale to se mi zdá stejně těžký.
Edit: Monotonie vyřešena tady. To spolu s Leibnizovým kritériem dává neabsolutní konvergenci řady.
↑ karim11:
Je to OK ?
Offline