Matematické Fórum

tng013 · 28. 05. 2015 17:42

Ahojte, prosím o radu s touto rovnicí.

$\sqrt2 \cdot cos 2x = sin 4x$

Postupoval jsem takto, ale z toho co mi vyšlo nedokážu určit výsledek. Jestli je to vůbec správně...

$\sqrt2 \cdot (2cos^2x - 1) = sin 4x$
$2\sqrt2\cdot cos^2x - \sqrt2 = sin 4x$
$2\sqrt2 \cdot (1-sin^2x) - \sqrt2 = sin 4x$
$2\sqrt2 - 2\sqrt2\cdot sin^2x - \sqrt2 = sin 4x$
(Tady mě napadlo udělat substituci sinx = a, ale nevím jestli to vůbec lze se sin4x)
... po vytknutí
$\sqrt2 = sinx\cdot[sinx\cdot(sin2x+2\sqrt2)]$

Díky za rady.

zdenek1 · 28. 05. 2015 17:49

↑ tng013:
udělej to obráceně - uprav $\sin4x$
$\sqrt2\cdot\cos2x=2\sin2x\cos2x$

Eratosthenes · 28. 05. 2015 17:50

ahoj ↑ tng013:,

špatně to ai není, ale je to dost nešikovné. Co toto:

$\sqrt2 \cdot cos 2x = sin 4x$

$\sqrt2 \cdot cos 2x = 2 sin 2x cos 2x$

Eratosthenes · 28. 05. 2015 17:51

↑ zdenek1:

omlouvám se - předběhl's mě, ale už to nechám :-)

gadgetka

Zdravím, nebo použij substituci:

$\sqrt2 \cdot \cos 2x = \sin 4x$
$s:\enspace 2x=a$
$\sqrt 2\cos a = \sin 2a$
$2\sin a\cos a-\sqrt 2\cos a =0$
$\cos a(2\sin a-\sqrt 2)=0$

tng013 · 28. 05. 2015 20:38

Děkuji moc všem! Vůbec jsem netušil, že $sin 4x$ lze takto rozdělit.

Zkusil jsem to tedy (oba způsoby) a narazil na toto:

$\sqrt2 \cdot cos 2x = 2 sin 2x cos 2x$
$(\sqrt2 \cdot cos 2x) / cos 2x = 2 sin 2x$
$\sqrt2 = 2 sin 2x$

Pak jsem jen substivoval $2x = a$ a vyšly mi dva kořeny. Podle výsledků mají vyjít 3 výsledky, tak jsem to zkusil nekrátit a došel k tomu, co psala gatgetka $\cos a(2\sin a-\sqrt 2)=0$

Podle toho už vyšli 3 výsledky, resp. 4 přičemž dva periodicky se opakující.

V čem byla moje úvaha chybná? Nelze takto krátit gonio. rovnici?

misaH · 28. 05. 2015 20:48 — Editoval misaH (28. 05. 2015 20:54)

↑ tng013:

Nečítala som to - ale pri krátení prichádzaš o koreň.

Napríklad: $x^2=x$

Ak vydelíš neznámou x a neuvedomíš si ďalšie súvislosti vyjde ti koreň x=1.

Lenže ešte existuje aj koreň x=0.

$x^2-x=0$
$x(x-1)=0$

x je teda 1 alebo aj 0.

tng013 · 28. 05. 2015 22:02

Jo to bude nejspíš ono.

Jinak jsem z těch rovnich už úplně mimo... Poslední příklad a jdu spát :-D

$tg^2x - 2tgx + 1 = 0$
$tgx \cdot(tgx - 2) = -1$
$1) tgx = -1$
$2) tgx = 1$

1)
$\text{tg}(\pi-\frac{\pi }{4}) = -1$
$x = (\pi-\frac{\pi }{4}) + k\pi = \frac{3}{4}\pi + k\pi$

2)
$\text{tg}\frac{\pi }{4} = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$

Pokud bych dělal substituci, tak vyjde $tgx = a; a = 1 \rightarrow tgx = 1$

Výsledky ale nesouhlasí s výsledky v učebnici. Co dělám špatně? Doteď jsem takto řešil gonio. rovnice a nebyl problém... Už jsem z toho celý unavený

gadgetka

$\text{tg}^2x - 2\text{tg}x + 1 = 0$
substituce $\text{tg}x=a$
$a^2-2a+1=0$
$(a-1)^2=0$
$a=1$

$\text{tg}x=1$
$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$

Podmínka: $\cos x\ne 0\Rightarrow x\ne (2k+1)\frac{\pi}{2}$

Tvůj postup s vytýkáním není správný, tak to vytýkat nelze...

tng013 · 28. 05. 2015 23:42

U podobného přikladu se sinusem jsem to také takto vytýkal a vyšlo to. Je to teda špatný postup?

Jinak výsledek má prý být $x = \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}; x = \frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{2}$

gadgetka · 28. 05. 2015 23:46

Ten výsledek k tomuto příkladu určitě nesedí. :)

Pokud ta tvoje rovnice byla rovna nule, tak je postup správný.

tng013 · 29. 05. 2015 17:12

Moje chyba, promiňte. Koukal jsem na to za tmy pozdě večer... Ještě jednou díky moc za pomoc!

Matematické Fórum

#1 28. 05. 2015 17:42

Úprava goniometrické rovnice

#2 28. 05. 2015 17:49

Re: Úprava goniometrické rovnice

#3 28. 05. 2015 17:50

Re: Úprava goniometrické rovnice

#4 28. 05. 2015 17:51

Re: Úprava goniometrické rovnice

#5 28. 05. 2015 18:08 — Editoval gadgetka (28. 05. 2015 18:09)

Re: Úprava goniometrické rovnice

#6 28. 05. 2015 20:38

Re: Úprava goniometrické rovnice

#7 28. 05. 2015 20:48 — Editoval misaH (28. 05. 2015 20:54)

Re: Úprava goniometrické rovnice

#8 28. 05. 2015 22:02

Re: Úprava goniometrické rovnice

#9 28. 05. 2015 22:38 — Editoval gadgetka (28. 05. 2015 22:40)

Re: Úprava goniometrické rovnice

#10 28. 05. 2015 23:42

Re: Úprava goniometrické rovnice

#11 28. 05. 2015 23:46

Re: Úprava goniometrické rovnice

#12 29. 05. 2015 17:12

Re: Úprava goniometrické rovnice

Zápatí