Matematické Fórum

loleklel · 28. 05. 2015 12:49

Ahoj, potreboval bych poradit s nasledujicim prikladem.
Jsou 2 nahodne veliciny popsane rovnomernym rozlozenim na intervalu (0,1): X~U(0,1), Y~(0,1).Nahodna velicina Z je dana Z = X + Y.Vypoctete hustotu ppsti Pz(Z) vytvorenim pomocne nahodne veliciny a pouzitim vety o transformaci nahodne veliciny z R^N do R^N.

Postup reseni:
definoval jsem pomocnou velicinu W = X. To mi da dve funkce s dvema nah.velicinama. W = X a Z = X + Y.
Pomoci vypotu jakobianu a dosazeni do vzorce pro hustotu mi vyslo: x = w a z = x + y.
po dosazeni w za x => y = z - w.
pote vysledna hustota by se mela dat spocitat pomoci neur. integralu :
$\int_{-inf}^{inf}f_{XY}(w,z-w)dw$

problem je, ze za predpokladu, ze vyse uvedeny postup mam spravne, najit spravne meze integralu pro vypocet.

Poradi nekdo ?

Brano · 28. 05. 2015 16:36

mas to spravne a mas aj spravne hranice, len si musis uvedomit ako vyzera funkcia
$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ cize mas pocitat integral
$\int_{-\infty}^\infty f_X(w)f_Y(z-w)dw$ (co sa btw vola konvolucia)

no a teraz sa zamyslo kde je podintegralna funkcia nenulova - nenulova je prave vtedy ked
$w\in(0,1)$ a sucasne $z-w\in(0,1)$ - t.j. $w\in(z-1,z)$
cize na $(0,1)\cap (z-1,z)$ je ta funkcia $=1$ a inde je $=0$

dalej zvladnes?

loleklel

tyto hranice jsou mi zcela jasne, ale stejne nevim jak presne ten integral spocitat.
respektive ty hranice si myslim, ze maji byt w(0, z) a w(z-1,2)
pak kdyz to zintegruji podle tehle hranic, tak to zderivuji a dojdu k vysledku ?

Brano · 28. 05. 2015 22:45

uz nemas nic derivovat - ten integral je uz hustota a tie hranice su tak ako som napisal
(resp ak si myslis, ze by tam mala byt dvojka tak skus napisat aj dovod preco a najdeme kde je chyba)

ked to uz chces dopocitat tak sa treba zamysliet nad tym, ze co je vlastne tento interval zac
$(0,1)\cap (z-1,z)$
kedze cez neho integrujes jednotku tak vysledok bude iba jeho dlzka

rozober si 4 moznosti $z\le 0,\quad z\in(0,1),\quad z-1\in(0,1),\quad z-1\ge 1$

loleklel · 29. 05. 2015 00:06

mas pravdu ze je to do jedne :) ale uplne mi nejou jasne ty 4 moznosti.
Jak to tedy mohu dopocitat? :/

Brano · 29. 05. 2015 01:05

tak napriklad ak $z=-2$ tak co je $(0,1)\cap (z-1,z)$ ?

loleklel · 29. 05. 2015 08:40

to nejspise bude nulove
vyslo mi, ze integruji od 0 do z a od z-1 do 1 je to tak nie ? :)

Brano · 29. 05. 2015 08:52

↑ loleklel:
takto $I=(0,1)\cap (z-1,z)$ a $J=(0,z)\cap (z-1,1)$ je ta ista mnozina (t.j. $I=J$ )
ale neintegrujes od 0 do z a od z-1 do 1 ale integrujes cez mnozinu $I$ a to by snad nemal byt problem vyriesit podulohu: zjednodus $I$ , ked som ti uz aj dal hint, ze je to interval (len niekedy degenerovany) - to je snad uloha pre zakladnu skolu uobit prienik dvoch intervalov - ked ti to nie je hned jasne tak si to skus nakreslit na ciselnu os

loleklel · 29. 05. 2015 09:07

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-05/83192_20150529_090403.jpg
tedy mi vyjde ze pro z(0,1) je integral z a pro interval z(1,2) je integral 2-z, je to tak dobre ?

Brano · 29. 05. 2015 09:50 — Editoval Brano (29. 05. 2015 09:52)

vyborne - este pre uplnost
1) $z\le 0$ je podmienka kedy je prienik tych intervalov prazdny (a to tak ze ten z-kovy je vlavo od (0,1))
a dlzka prazneho intervalu je 0
2) pre $z\in(0,1)$ je $I=(0,z)$ a dlzka je $z$
2+) pre $z=1$ je $I=(0,1)$
3) pre $z-1\in(0,1)$ - t.j. pre $z\in (1,2)$ je $I=(z-1,1)$ s dlzkou $2-z$
4) pre $z\ge 2$ je znova prazdny
takze
$f_Z(z)=\begin{cases}0&z\le0\\z&z\in(0,1]\\2-z&z\in[1,2)\\0&z\ge2\end{cases}$